Fractales

Introducción

Decantarme por un trabajo de investigación científica y en particular por un trabajo de matemáticas fue fácil. Lo que más me atraía de este trabajo era la estrecha relación que existe entre las matemáticas y el resto de la realidad. Otro de los atractivos que me ayudaron a elegir este trabajo fue el hecho de poder programar pequeñas herramientas para así ejemplificar y mostrarconceptos relacionados con el mundo de los fractales.
“Si pudieras detener cada átomo en su posición y dirección y si tu mente fuera capaz de abarcar todas las acciones que quedarían suspendidas en ese momento, y si además fueras bueno para el álgebra, bueno de verdad, podrías escribir la fórmula del futuro” decía Toamasina en Arcadia de TOM Stoppard. Quizá sea demasiado optimista pero el mundo sepuede descomponer en matemáticas ya sea de una manera más o menos aproximada todo es reducible a cifras y números.
No es aventurado pensar que Thomasina tenía razón pero olvidó algo fundamental que se presenta de manera inesperada y desaparece de igual manera: el caos. La conducta caótica está intrínsicamente ligada a muchas ecuaciones y procesos naturales. El caos es reciente, hasta hace poco másde 40 años se relegaba a los pies de página. Muchos científicos están dejando de creer en el determinismo de la naturaleza.
Los fractales son una prueba de ello, quién puede imaginar que la red arterial del cuerpo humano tiene forma y estructura fractal. Es más quién puede imaginar que las costas de todos los continentes tienen estructura fractal.
En este trabajo se analizan diversos conjuntosfractales no sin antes introducir al lector en los conceptos necesarios para entender la geometría fractal como la dimensión, el caos o la iteración de funciones. Otro punto destacable es el conjunto de programas que se presentan para que el lector pueda crear fractales y experimentar con ellos.

Fractales

2.1- Un poco de historia: los orígenes
La matemática fractal había sido, hasta losaños 70, relegada a los pies de página o a los márgenes. Cuando algún matemático se encontraba con un monstruo lo consideraba una mera anécdota.
En 1919 Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones y medidas de los fractales, el llamado medida y dimensión Hausdorff. Al año siguiente Besicovitch, interesado por el trabajo de Hausdorff, en particular por la dimensión Hausdorff 1 creó la teoríageométrica de la medida.[pic]
En 1963 Edward Lorenz, meteorólogo, intuía el efecto mariposa al redondear unos decimales en su programa de ordenador que simulaba situaciones meteorológicas. Al variar ligeramente el número de decimales después de la coma e introducir los resultados en su ordenador el programa devolvió unos resultados sorprendentemente diferentes a los anteriores. El caos matemáticohabía nacido.
Efecto mariposa: Esta expresión proviene del hecho que el aleteo de una mariposa en un remoto lugar de la Tierra puede originar un tornado en otro lugar. Exageraciones a parte, el caos demuestra que unas ligeras variaciones en las condiciones iniciales pueden originar resultados impredecibles.

Gastón Julia (1893-1978) fue uno de los grandes precursores de la matemática fractal.Nacido en 1893 fue herido en la cara durante la Primera Guerra Mundial. Durante su estancia en el hospital se interesó por las iteraciones de funciones complejas y finalmente publicó el artículo “informe sobre la iteración de las funciones racionales” de 199 páginas en la revista francesa Journal de Mathématiques Pures et Apliques. Ello le mereció un galardón por parte de la Academia de ciencias deFrancia. En este artículo se mostraba lo que más tarde se tratará en este trabajo, el conjunto de Julia.

[pic]Benoît Mandelbrot (1924), en los años 70 y posteriores, se interesó mucho por la posibilidad de que una regla o cierto tipo de orden determinaran el ruido que se proyectaba en las comunicaciones entre ordenadores. Este ingeniero de l’Ecole Politecnique de París y actualmente IBM...