fractales

Capítulo 1

Generalidades
1.1.

Introducción

Naturalmente podemos ubicar la geometría fractal en ese gran continente del mundo
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de la matemática llamado geometría, junto a la geometría proyectiva, la geometría

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euclidiana, las no euclidianas y la topología. La palabra geometría viene del griego

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geo: tierra, y metrein: medir. La geometría euclidiana es lageometría clásica que

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empezamos a estudiar desde la escuela primaria; es punto de partida para las otras

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clases de geometría y la primera en orden cronológico. Casi tan antigua como el homww
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bre mismo, dado que su gestación es, en buena parte, consecuencia de la necesidad e
inquietud natural del ser humano por conocer, analizar y medir lo que encuentra en
el mundo,la geometría en general busca, de una u otra manera, el modelar objetos
y fenómenos de la naturaleza y hallar un orden en el universo.
Sin embargo las formas y figuras que estudia la geometría euclidiana son bastante
ideales, suaves, regulares, es decir más bien alejadas de las que realmente se encuentra
en la naturaleza. Como afirma el propio B. Mandelbrot, considerado padre de los
fractales:Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son
circunferencias y la corteza de un árbol no es lisa, como tampoco es cierto que
la luz viaje en línea recta. (B. Mandelbrot, [22]).

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1. Generalidades

La geometría fractal pretende acercarse un poco más a las formas, objetos y fenómenos de la naturaleza; de hecho, uno de los libros clásicos de B.Mandelbrot lleva
el sugestivo título The Fractal Geometry of Nature [22]. Pensemos por ejemplo en
un árbol. Quizá una representación aproximada de un árbol, usando figuras de la
geometría euclidiana, sería como la que se muestra en la Figura 1.1, mientras que
usando los principios básicos de la geometría fractal, una representación de un árbol
sería como la de la Figura 1.2. La Figura 1.3 correspondea una representación de
un árbol obtenida (computacionalmente) aplicando el método que explicaremos en

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el capítulo 4 del presente libro.

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Figura 1.1: Geometría euclidiana. Figura 1.2: Geometría fractal.

Figura 1.3: Árbol fractal.

Justamente esta característica (la de constituir una geometría más cercana a la naturaleza) es una delas razones por las cuales la geometría fractal actualmente llama
la atención. Existen, en nuestro concepto, al menos otros tres atractivos que posee esta geometría, a saber: la belleza o vistosidad de las figuras que estudia, las numerosas
aplicaciones que se le vienen encontrando en muy diversas ramas de la ciencia y aun
del arte (física, biología, química, geología, medicina, pintura,arquitectura, música,
literatura, diseño, entre otras), y por otra parte, dado que constituye un área de estudio relativamente nueva, se encuentra aún en ella una buena cantidad de problemas
abiertos y preguntas sin respuestas conocidas, hecho que por sí sólo constituye un
fuerte atractivo para quien se precie de ser un amante de la matemática.
En la Figura 1.4 se muestran dos ejemplos de lanaturaleza donde llama la atención
lo vistoso de su geometría.
[S.M. Sabogal & G. Arenas

1.1. Introducción

3

Figura 1.4: Fractales en la naturaleza. Foto de los autores.

En la Figura 1.5 se muestran varios modelos de fractales elaborados por los estudiantes de la asignatura Geometría Moderna. Los modelos fueron construidos aplicando
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el método que explicaremos en el capítulo 4, ycorresponden a ejemplos clásicos

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de la geometría fractal: Esponja de Menger, Pirámide de Sierpiński y Carpeta de

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Sierpiński.

Figura 1.5: Fractales en la matemática.

En la Figura 1.6 se presentan dos fotos tomadas en el Museo de Arte Moderno de la
ciudad de México, donde se muestra cómo en el arte se hace referencia a la geometría...