funcion cuadratica 14

FUNCION CUADRÁTICA
Lic. Silvia L. Silvestri
Recordemos:
2
Un polinomio de grado 2 tiene la forma P( x)  ax  bx  c
Término Cuadrático (a)

P(x)  ax2  bx  c
Término Lineal (b)

Término Independiente (c)

Para calcular las raíces (valores de x que reemplazados en el polinomio de da como resultado `0`) se
aplica la fórmula de Baskara.

x1 ; x 2 

 b  b 2  4ac
2a

Si las raíces x1 y x2existen , podemos escribir el polinomio en forma factorizada de la
siguiente manera :

P( x)  a.( x  x1 ).( x  x2 )
Un polinomio de grado dos podemos escribirlo también en forma canónica, para ello
calculamos el promedio de las raíces (pr) y valor numérico del polinomio en ese valor promedio

pr 

x1  x2
2
y P( pr)  a ( pr)  b( pr)  c
2

P( x)  a.( x  pr) 2  P( pr)

calcular raíces x1, x2POLINÓMICA

FACTORIZADA

Calcular promedio de
raices pr y P(pr)

CANÓNICA

FACTORIZADA

Resolver aplicando doble distributiva
(resolviendo el cuadrado del binomio)
calcular raíces x1, x2
( igualar a ´0´y despejar x )

CANÓNICA

POLINÓMICA

FACTORIZADA

Ejemplos:


Sea P(x) = - x2 -2x +15 escrita en forma polinómica

a= -1, b= -2 , c = 15 aplicando Baskara tenemos

x1 ; x2 
pr 

 ( 2)  ( 2) 2 4( 1).15
2( 1)

53
2



2
2

 1

=

2  64
2



28
2

x1 = -5
x2 = 3

P(pr)= P(-1) = - (-1)2 – 2. (-1) + 15 = -1 + 2 + 15 = 16

Entonces P(x) = - x2 -2x +15 = (-1). (+5).(x-3) = (-1). (x+1)2 + 16

1

FUNCION CUADRÁTICA
Lic. Silvia L. Silvestri



Sea P(x) = 3.(x+6).x escrita en forma factorizada

las raíces son x1= -6 y x2 = 0
P(x) = (3x + 18).x = 3x2 + 18 x es su representaciónpolinómica
pr=( -6 + 0 )/ 2 = -3

y P(pr)=P(-3) = 3.(-3+6).(-3) = 3.3.(-3) = -27

P(x) = 3.(x+3)2 -27 es su representación canónica
5
2



Sea P(x) = (x- )2 5
2

P(x) = (x- )2 (x-

5 2
)
2

-

9
4

=0

9
4

9
4

= x2 -5x +
(x-

5 2
)
2

=

escrita en forma canónica
25
4
9
4

-

9
4

= x2 - 5x + 4 es su representación polinómica
x1 = 1
x-

5
2

=

3
2

x-

5
2

=

3
2

3
2

x= +

5
2

x2 = 4P(x) = (x-1).(x-4) es su representación factorizada

RECORDEMOS QUE CUALQUIERA SEA LA FUNCIÓN F(X) :



PARA OBTENER SUS RAICES (valores del eje X donde la curva lo toca o atraviesa)
DEBEMOS BUSCAR LOS VALORES DE X CUYA IMAGEN ES CERO F(X) = 0
PARA OBTENER LA ORDENADA AL ORIGEN (valor del eje Y donde la curva lo
atraviesa) DEBEMOS BUSCAR LA IMAGEN DEL CERO F(0) = ……

FUNCIÓN CUADRÁTICA
Se llamaFUNCIÓN CUADRÁTICA a toda función de la forma f(x) = a.x2 + b.x + c

siendo a, b, c

números reales con a  o .
La representación gráfica de una Función Cuadrática es una curva denominada parábola.
(forma de ´ o ´)
2
Para realizar el gráfico de una parábola, f ( x)  ax  bx  c , se deben calcular los elementos
de la misma, y luego representarla.

Elementos de la parábola
El Eje de Simetría :es una recta vertical que divide la parábola en dos
mitades congruentes,los puntos simétricos se encuentren
a la misma distancia de dicho eje.
El Vértice :
es un par ordenado cuyas coordenadas son V= (xv, yv)

2

FUNCION CUADRÁTICA
Lic. Silvia L. Silvestri
Gráficamente es el punto de la parábola por donde pasa
el eje de simetría.


Si la ecuación cuadrática está dada en forma canónica, el vérticees un dato



Si la ecuación cuadrática está dada en forma polinómica,

las coordenadas del vértice son

b
xv 
2a

b2
yv  c 
4a

y el eje de simetría es la recta verticales de ecuación x = x v 


b
2a

Si la ecuación cuadrática está dada en forma factorizada,

las coordenadas del vértice son xv  pr 

x1  x2
2

yv  f ( xv )

y el eje de simetría es la recta verticales de ecuación x =xv
Las Raíces de la parábola:
son los puntos de intersección de la gráfica con el eje de las abscisas (eje X), es decir son las
preimágenes del cero : f(x1) = f(x2) = 0
Ordenada al origen :
es el punto de intersección de la gráfica con el eje de las ordenadas (eje Y), es decir es la
imagen del cero f(0) = c

.
Observando la gráfica podemos determinar que el dominio de la función son todos los...