geometria diferencial
Páginas: 2 (327 palabras)
Publicado: 20 de octubre de 2013
Geometría Diferencial
Constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definido por la función r(u); según hemos visto, en ladirección a la tangente a C. Considerando al escalar u como la longitud de arco s medida a partir de un punto fijo de C de la curva es un vector tangente y que llamaremos T como seobserva la figura.
La variación de T respecto a s es una medida de la curvatura de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto (problema). El vector unitario Nen la dirección de la normal se llama normal principal a la curva así pues = kN, siendo k la curvatura de C en el Punto dado.
El reciproco de la curvatura, = se llama radiode curvatura.
El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, Bforman un triedro trirrectángulo a derechas en cualquier punto de C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistemase desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil.
Las formulas de Frenet-Serret que relacionan los vectores T, N, y B con sus derivadas son las siguientes:
=kN, = B – kT, = -N
Donde el escalar se llama torsión. El reciproco de la torsión = es el radio de torsión.
El plano osculador a un curva enun punto P es el que contiene a la tangente y a la normal principal en P. El plano normal es el que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. El plano rectificante es el quepasa por P y es normal a la perpendicular a la normal principal.
Ejemplo 1 .-
Siendo A Modulo Constante, demostrar que A y son perpendiculares, siempre que || ≠ 0.
Constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definido por la función r(u); según hemos visto, en ladirección a la tangente a C. Considerando al escalar u como la longitud de arco s medida a partir de un punto fijo de C de la curva es un vector tangente y que llamaremos T como seobserva la figura.
La variación de T respecto a s es una medida de la curvatura de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto (problema). El vector unitario Nen la dirección de la normal se llama normal principal a la curva así pues = kN, siendo k la curvatura de C en el Punto dado.
El reciproco de la curvatura, = se llama radiode curvatura.
El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, Bforman un triedro trirrectángulo a derechas en cualquier punto de C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistemase desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil.
Las formulas de Frenet-Serret que relacionan los vectores T, N, y B con sus derivadas son las siguientes:
=kN, = B – kT, = -N
Donde el escalar se llama torsión. El reciproco de la torsión = es el radio de torsión.
El plano osculador a un curva enun punto P es el que contiene a la tangente y a la normal principal en P. El plano normal es el que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. El plano rectificante es el quepasa por P y es normal a la perpendicular a la normal principal.
Ejemplo 1 .-
Siendo A Modulo Constante, demostrar que A y son perpendiculares, siempre que || ≠ 0.
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