Geometria diferencial

1. TEORIA DE CURVAS
Advertencia inicial:
En todo lo que sigue los vectores de Rn serán considerados fila o columna
(sin aviso explícito), según se desprenda del contexto.
1.1. CURVAS PLANAS
Fijados en el plano un sistema de coordenadas cartesianas, podemos identificar
cada punto p con sus coordenadas (x, y) ∈ R2, y escribimos p = (x, y).
Supongamos que nuestro punto p se mueve por elplano, y en cada instante
t ocupa una posición α(t) = (x(t), y(t)), donde t varía en un cierto
intervalo I ⊆ R . Si nuestro punto no tiene propiedades fantasmales describirá
sobre el plano una traza continua, es decir, las funciones x(t), y(t),
definidas para t ∈ I, serán funciones continuas, y se denomina a α : I → R2
curva (parametrizada).
A veces se expresa esta situación escribiendo
α(t) :½
x = x(t)
y = y(t)
son las ecuaciones de α (en las coordenadas cartesianas (x, y))
Definición: Supóngase I un intervalo abierto de R . Una curva α : I 3
t → (x(t), y(t)) ∈ R2 se dice diferenciable, si las funciones x(t), y(t), admiten
derivadas de cualquier, órden en todos los puntos t ∈ I. Si el intervalo I no
es abierto, se dirá que α : I → R2 es curva diferenciable, si existe unaaplicación diferenciable ˜α : ˜I → R2 donde ˜I ⊃ I, es un intervalo abierto de
R, y α(t) = ˜α(t), ∀t ∈ I
1.1.1. Vector velocidad
Si α : I → R2 es una curva diferenciable, y t0 ∈ I, se llama vector
velocidad de α en t0 a:
α0(t0) = (x0(t0), y0(t0)) = l´ım
∇t→0
α(t0 + ∇t) − α(t0)
∇t
y representa de hecho, la velocidad instantánea de la partícula movil α(t) en
t = t0
Denotamos ⊥α0(t0) = (−y0(t0),x0(t0)), que es α0(t0) girado +π/2 radianes.
1.1.2. Curvas regulares
Un punto α(t0) de una curva diferenciable α : I → R2 se llama regular,
si α0(t0) 6= 0. La curva α se llama regular si todos sus puntos son regulares
1 TEORIADECURVAS 6
1.1.3. Recta tangente y recta normal
Por un punto regular α(t0) de una curva diferenciable α, pueden trazarse
dos rectas destacadas:
La recta tangente a αen t0, que es la recta T que pasa por α(t0), y
tiene la dirección de α0(t0). Sus ecuaciones son:
x − x(t0)
x0(t0)
=
y − y(t0)
y0(t0)
La recta normal a α en t0, que es la recta N que pasa por α(t0), y tiene
la dirección de ⊥α0(t0). Sus ecuaciones son:
x − x(t0)
−y0(t0)
=
y − y(t0)
x0(t0)
1.1.4. Reparametrizaciones
Cuando α : I → R2 es una curva, y t : J 3 s → t = t(s) ∈ I es undifeomorfismo entre intervalos, entonces β = α ◦ t es también una curva y se
verifica:
β0(s) = t0(s)α0(t(s)) ∀s ∈ J
en particular, si α es regular, β también lo es.
1.1.5. Trayectorias y trayectorias orientadas.
La aplicación t, se denomina función de cambio de parámetro, que permite
pasar de α a β. Se dice entonces que las curvas α a β definen la misma
trayectoria. Si t preserva laorientación entonces se dice que ambas curvas
definen la misma trayectoria orientada. Ambas relaciones, son de equivalencia
sobre la familia de curvas regulares, y definen por paso al cociente, los
conceptos de trayectoria, y de trayectoria orientada.
1.1.6. Sobre la geometría de las curvas
Intuitivamente, en el caso de curvas regulares, una trayectoria viene definida
por la imagen de una curvaregular, y una trayectoria orientada es una
trayectoria dotada de un sentido de recorrido. Conviene distinguir de entre
las entidades matemáticas ó propiedades asociadas a una curva, aquellas que
dependen solo de la trayectoria (que denominamos geométricas), de las que
dependen de la parametrización concreta. Así por ejemplo el vector velocidad
α0(t) en un punto, no es geométrico, y sin embargo silo es el vector unitario
tangente α0(t)/ | α0(t) | , o la recta afín tangente a la curva en un punto α(t).
1 TEORIADECURVAS 7
1.1.7. Curvas conguentes
Dos curvas α(t) = (x(t), y(t)) y ¯α(t) = (¯x(t), ¯y(t)), α, ¯α : I → R2, se
dicen congruentes, si existe una congruencia (o movimiento directo)
A : R2 3
μ
x
y
¶
→
μ
¯x
¯y
¶
= A
μ
x
y
¶
+
μ
a
b
¶
∈ R2
donde A =
μ
cos ω...