Geometria Diferencial

Antonio Vald´es
22 de enero de 2013

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Notas de Geometr´ıa Diferencial con
aplicaciones

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1. Curvas parametrizadas
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1.1. Ejemplos de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Curvas polin´omicas . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Curvas de B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Afinidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Combinaciones baric´entricas . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Algoritmo de Jarvis para el c´alculo de la envoltura convexa 14
1.2.4. Polinomios de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5. Curvasde B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.6. El algoritmo de De Casteljau . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Curvas racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Curvas regulares. Curvatura.
25
2.1. Curvas regulares. Longitud de arco. . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Definici´on de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1.Curvatura de una curva plana . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2. Curvatura de una curva no parametrizada por la longitud de arco 37
2.2.3. Invariancia de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.4. Circunferencia osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Ecuaciones impl´ıcitas de curvas en el plano . . . . . . . . . . . 43
2.3.1. Curvatura de una curva definida impl´ıcitamente . .. . 47
3. Ecuaciones de Frenet
3.1. Otra interpretaci´on de la curvatura de una curva plana
3.2. Ecuaciones de Frenet planas . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. El teorema fundamental de la teor´ıa de curvas planas .
3.4. Curvas espaciales. Plano osculador . . . . . . . . . . .
3.5. Binormal. F´ormulas de Frenet y consecuencias. . . . . .
3.6. Forma can´onica local de una curva . . . . . . . . . ..
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´Indice general

´INDICE GENERAL

4. Superficies
4.1. Superficies de B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Superficies parametrizadas regulares . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. El plano tangente es el que mejor aproxima la superficie
4.3.Ejemplos de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Superficies de rotaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Rotaciones y cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Curvas sobre superficies. Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

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63
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en el punto 66
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5. Las formas fundamentales
77
5.1. Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.1. Longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
´
5.1.2. Angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
´
5.1.3. Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2. La segunda formafundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.1. Curvatura normal y curvatura geod´esica . . . . . . . . 82
5.2.2. Secciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.3. Diagonalizaci´on de la segunda forma fundamental . . . 84
5.2.4. C´alculos expl´ıcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3. L´ıneas de curvatura y l´ıneas asint´oticas . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.Una interpretaci´on geom´etrica de la curvatura de Gauss . . . . 89
5.5. El teorema egregio de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
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