Integrales Dobles Bivariables

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Integrales param´tricas e integrales dobles y triples. e

Eleonora Catsigeras.

19 Julio 2006.

6.
6.1.

Integrales dobles impropias.
Integrales impropias convergentes y no convergentes.

La teor´ de integrales dobles, triples y m´ltiples en general desarrollada hasta el momento, ıa u es aplicable a la integraci´n de funciones acotadas en conjuntos acotados (pues tienen queestar o contenidos en rect´ngulos). a La integraci´n en R2 , R3 y Rq se extiende mediante las llamadas integrales impropias a los o siguientes dos casos: El dominio D no es acotado. Esto da lugar a las llamadas integrales impropias de primera especie. Por ejemplo: 1 dxdy ((x2 + y 2 )5 + 1) D donde D = {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 0} La funci´n integrando 1/((x2 + y 2 )5 + 1) est´ acotada y es continua en D,pero D no o a est´ contenido en ning´n rect´ngulo, porque no es acotado, ya que D es todo el primer a u a cuadrante del plano x, y. El dominio D es acotado, pero la funci´n integrando en un punto (x0 , y0 ) del borde de D, no o est´ definida o no est´ acotada en ning´n entorno de ese punto. Esto da lugar a las llamadas a a u integrales impropias de segunda especie. Por ejemplo: x2 1 dxdy + y2

Ddonde D = [0, 1] × [0, 1] \ {(0, 0)} El dominio D est´ acotado, pero la funci´n integrando 1/(x2 +y 2 ) no est´ acotada en ning´n a o a u entorno del origen (0, 0), que est´ en el borde de D. a ıa o a a Nota 6.1.1. La teor´ que desarrollaremos a continuaci´n ser´ v´lida solamente para integrales dobles, triples o q-m´ltiples con q ≥ 2. No es v´lida para integrales impropias de funciones de una ua sola variable real, que se vieron en el curso de C´lculo 1. a En particular la definici´n de integral doble o triple impropia convergente que veremos aqu´ o ı, no es la misma que la se usa para integrales impropias en la recta real para funciones de varias variables, sino que es mucho m´s exigente, y no equivale a ella. a Como consecuencia, uno de los resultados que se obtienen ahora es que todaintegral doble, triple o q-m´ltiple (con q ≥ 2) impropia, u es convergente si y solo si es absolutamente convergente. Ese resultado es falso para funciones de una sola variable, como se sabe del curso de c´lcua lo 1. Para funciones de una sola variable, toda integral impropia absolutamente convergente es convergente, pero no vale el rec´ ıproco.

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Definici´n 6.1.2. Conjuntos medibles. o Un conjunto acotado D de Rq se dice que es medible (seg´n Jordan) si su frontera es un u conjunto de medida nula. Por ejemplo, los conjuntos simples de R2 y de R3 y los conjuntos descomponibles en simples, son conjuntos medibles. Esta afirmaci´n, en el caso de dominios planos, resulta inmediatamente o deaplicar la definici´n 2.2.11, y las proposiciones 5.3.2 y 5.3.3. o Haremos el desarrollo de la teor´ para integrales dobles. La generalizaci´n a integrales triples ıa o y q-m´ltiples se realiza como se explic´ en la subsecci´n 5.6. u o o Definici´n 6.1.3. Sucesi´n b´sica de conjuntos de integraci´n. o o a o 2 , y sea f (x, y) una funci´n definida en D. Sea D un conjunto no vac´ de R ıo o Se llamasucesi´n b´sica de conjuntos de integraci´n de f en D, si existe alguna, a una sucesi´n o a o o creciente de dominios Dn compactos y medibles contenidos en D: D1 ⊂ D2 ⊂ D3 ⊂ D4 ⊂ . . . ⊂ Dn ⊂ Dn+1 ⊂ . . . ⊂ D tales que todo compacto K medible contenido en D est´ contenido en alg´n Dn , y adem´s f es a u a integrable Riemann en Dn para todo n ≥ 1. Es decir existe: In =
Dn

f (x, y) dxdy

Lacondici´n de que todo compacto K medible contenido en D est´ contenido en alg´n Dn se dice o e u abreviadamente: “Dn aproxima de D”. Con esta definici´n no es dif´ demostrar que si existe una sucesi´n b´sica de conjuntos de o ıcil o a integraci´n de f en D entonces f es integrable Riemann en todo conjunto compacto y medible K o contenido en D. (Usar el teorema 5.4.1 de Riemann-Lebesgue.) √ Ejemplo...