Integrales dobles

APUNTES DE CLASES CÁLCULO 3
UNIDAD 5

Profesor Iván Jirón Araya

4

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES
RECTANGULARES ( x, y ) A POLARES ( r ,θ )

r 2 = x2 + y2

tgθ =

∧

y
x

POLARES ( r ,θ ) A RECTANGULARES ( x, y )

x = r cos θ

y = rsenθ

∧

Teorema 5.7. De FUBINI en coordenadas polares. Sea z = f ( r , θ ) una función continua

definida sobre una región R,acotada por los rayos θ = α y θ = β y por las curvas
r = g1 (θ ) y r = g 2 (θ ) . Donde 0 ≤ g1 (θ ) ≤ g 2 (θ ) ≤ a, ∀θ ∈ [α , β ] . Entonces,
θ = β r = g 2 (θ )

∫ ∫ f ( r ,θ ) dA = θ ∫α ∫ θ f ( r ,θ ) r drdθ
r = g1 (

=

R

)

Observación: 0 ≤ g1 (θ ) ≤ r ≤ g 2 (θ ) y 0 ≤ β − α ≤ 2π .
Ejemplo 5.8. Identifique los límites de integración para un campo f ( r ,θ ) sobre la región R
queestá dentro da la cardioide r = 1 + cos θ y fuera de la semicircunferencia r = 1 .
Y

2

1

X

-2

-1

1

-1

-2

2

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5

Teorema 5.9. El área de una región R cerrada y acotada en el plano r − θ está dada por

∫ r dr dθ

A=∫
R

Ejemplo 5.10.

a) Calcule el área de la región del primer cuadrantedeterminada por la curva
r = 2 2 − sen2θ .
Y

4

3

2

1
X

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

b) Calcule el área encerrada en una hoja de la rosa r = 12 cos ( 3θ ) .
Y

11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1
-2

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13

-3
-4
-5
-6-7
-8
-9
-10
-11

c) Calcular el volumen acotado por el hemisferio z = 16 − x 2 − y 2 y el cilindro
x2 + y2 − 4 x = 0 .

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Teorema 5.11. De FUBINI para integrales triples. Sea f ( x, y, z ) un campo escalar
continuo sobre una región sólida E.

a) Sean g1 ( x ) , g 2 ( x ) , u1 ( x, y ) y u2 ( x, y ) funcionescontinuas.
Si E = {( x, y, z ) / a ≤ x ≤ b ∧ g1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x ) ∧ u1 ( x, y ) ≤ z ≤ u2 ( x, y )} entonces
b

g2 ( x )

u2 ( x , y )

a

g1 ( x )

u1 ( x , y )

∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dV = ∫ ∫
E

∫

f ( x, y, z ) dz dy dx (Tipo 1).

b) Sean h1 ( y ) ,h2 ( y ) , u1 ( x, y ) y u2 ( x, y ) funciones continuas.
E = {( x, y, z ) / c ≤ y ≤ d ∧ h1 ( y ) ≤ x ≤ h2 ( y ) ∧ u1 ( x, y ) ≤z ≤ u2 ( x, y )}

Si
entonces

d

h2 ( y )

u2 ( x , y )

c

h1 ( y )

u1 ( x , y )

∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dV = ∫ ∫
E

Observación:
E = {( x, y, z ) /

El

tipo

( y, z ) ∈ D

2

∫

f ( x, y, z ) dz dx dy (Tipo 1).

corresponde

a

una

región

sólida

como

∧ u1 ( y, z ) ≤ x ≤ u2 ( y, z )} y el tipo 3 corresponde a una

región sólida como E = {( x, y,z ) /

( x, z ) ∈ D

∧ u1 ( x, z ) ≤ y ≤ u2 ( x, z )} .

Ejemplo 5.12. Calcular las integrales triples siguientes:
a)

∫ ∫ ∫ xyz dV
2

sobre E = {( x, y, z ) / 0 ≤ x ≤ 1 ∧ − 1 ≤ y ≤ 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 3} .

E

b)

∫ ∫ ∫ zdV

sobre

el

tetraedro

sólido

limitado

por

los

cuatro

planos

E

x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1 .
c)

∫ ∫∫

x 2 + z 2 dV sobreel sólido limitado por el paraboloide y = z 2 + x 2 y el plano

E

y = 4.
d) Determinar el volumen de la región sólida E acotada por el cilindro parabólico

x = y 2 y los planos z = 0 y x + z = 1 .

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7

INTEGRALES TRIPLES Y COORDENADAS CILÍNDRICAS
RECTANGULARES ( x, y, z ) A CILÍNDRICAS ( r ,θ , z )

r 2 = x2 + y 2∧

tgθ =

y
x

∧

z=z

CILÍNDRICAS ( r ,θ , z ) A RECTANGULARES ( x, y, z )

x = r cos θ

∧

y = rsenθ

∧

z=z

Sea f ( x, y, z ) un campo escalar continuo sobre el sólido
E = { ( x, y , z ) /

( x, y ) ∈ R

∧ h1 ( x, y ) ≤ z ≤ h2 ( x, y )

}

Donde R es una región descrita en coordenadas polares como

R = { ( r , θ ) / θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ∧ g1 (θ ) ≤ r ≤ g 2 (θ )...