Integrales dobles

Introducción
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por lafunción y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes dedimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o amenudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
El problema de hallar el área comprendida entre la grafica de una función positiva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x =b.



INTEGRALES DOBLESVamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Lasaplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es,
F(x,y)= 1, o
F(x,y)= y,
Cuando se trate de calcular el área,
o el momento del área respecto al eje x.
La notación
"A" F(x, y) dA (1)
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a losejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx (2)
algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquellas que se hayan parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores alcontorno que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An (3)
sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4)
Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

(5)
Existe, y se expresa por la notaciónutilizada en la ecuación (1)

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en
z= F(x, y)
El término
F(xk, yk) Ak
Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn dela ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto.
La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, (3) para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble...