LA ELIPSE

LA ELIPSE
Definiciones.- Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.






Los puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición de una elipse excluye el caso que en el punto móvil este sobre el segmento queexcluye el caso en que el punto móvil este sobre el segmento que une los focos.
Designemos por F y F´ (fig. 86) los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta.
El eje focal corta a la elipse en dos puntos, V y V´, llamados vértices.
La porción de eje focal comprendida entre losvértices, el segmento VV´, se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta l´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el término eje normal para designarla. El eje normal l´ corta a le elipse en dos puntos, A y A´, y el segmento AA´ se llama eje menor. Un segmentotal como BB´, que une dos puntos cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como EE´, se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL´, perpendicular al eje focal l se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD´, se llama un diámetro. Si Pes un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F´P que une los focos con el punto P se llama radios vectores de P.
Ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse.- consideremos de la elipse de centro en el origen y cuyo focal coinciden con el eje X (fig.87). Los focos F y F´ están sobre el eje X con el centro O es el punto medio del segmento FF´,las coordenadas de F y F´ serán, por ejemplo, (c, 0) y (-c, 0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x, y) un punto cualesquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica
, (1)
En donde a es la constante positiva mayor que c.
Por el teorema 2, tenemos
, ,
De manera que la condición geométrica (1) esta expresadaanalíticamente por la ecuación
(2)
Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da

Elevando al cuadrado obtenemos nuevamente, obtenemos
,
De donde,
(3)
Como 2a > 2c es y es un numero positivo que puede sr reemplazado por el numero positivo , es decir,
(4)
Si en (3)reemplazamos por , obtenemos
,
Y dividiendo por , se obtiene, finalmente,
(5)
Recíprocamente, sea P1(x1, x1) un punto cualquiera cuyas coordenada satisfacen la ecuación (5), de manera que
(6)
Invirtiendo el orden de las operaciones efectuadas para pasar de la ecuación (2) a la (5), y dando la debida interpretación a los signos de los radicales, podemos demostrar que la ecuación (6) conduce a larelación

,
Que es la expresión analítica de la condición geométrica (1) aplicada al punto P1. Por lo tanto, P1 está sobre la elipse cuya ecuación está dada por (5).
Por ser a y –a las intersecciones del eje X, las coordenadas de los V y V´ son (a, 0) y (-a, 0), respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constaten que se menciona en la definición de la elipse. Lasintersecciones en el eje Y son b y –b. Por lo tanto las coordenadas de los extremos A y A´ del eje menor son (0, b) y (-0, b), respectivamente, y la longitud del eje menor es igual a 2b.
Por la ecuación (5) vemos que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.
Si de la ecuación (5) despejamos y, obtenemos
(7)
Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores...