Limites
Páginas: 8 (1759 palabras)
Publicado: 11 de octubre de 2011
CAPÍTULO PRIMERO: LÍMITES
En los ejercicios del 1 al 12, se da f(x), a L, E.
a) Utilice una figura para determinar δ ˃ 0:si 0< x-a<δ→fx-L<E
b) Confirme analíticamente, empleando propiedades de las desigualdades, al δ encontrado en la parte anterior.
1) fx=x-1;a=4;L=3;E=0.03
la función es crecientese necesita x1 yx2y1=2.97=x1-1y2=3.03=x2-1x1=3.97x2=4.03δ=4-3.97δ1=0.03δ=4.03-4δ2=0.03∴δ=0.03→si 0< x-4<0.03→(x-1)-3<0.03→0< x-4<0.03→x-4<0.03
2) fx=5x-3;a=1;L=2;E=0.05
la función es crecientese necesita x1 y x2y1=1.95=5x1-3y2=2.05=5x2-3x1=0.99x2=1.01δ=1-0.99δ1=0.01δ=1.01-1δ2=0.01∴δ=0.01→si 0< x-1<0.01→(5x-3)-2<0.05→0< 5x-1<5(0.01)→(5x-3)-2<0.05→0< 5x-5<0.05→(5x-3)-2<0.05→0< (5x—3)-2<0.05→(5x-3)-2<0.053) fx=4x2-4x-32x+1;a=-12;L=-4;E=0.03
se necesita x1 y x2y1=-4.03=4x12-4x1-32x1+1y2=-3.97=4x22-4x2-32x2+1x11≈-0.5x12≈-0.515x21≈-0.435x22≈-0.557δ=-0.5+0.515δ1=0.015δ=-0.435+0.5δ2=0.065∴δ=0.015→si 0< x+0.5<0.015→4x2-4x-32x+1+4<0.03 →0< 2x+0.5<2(0.015)→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0< 2x+1<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0< 2x-3+4<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0<(2x-3)+4<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0< (2x-3)(2x+1)(2x+1)+4<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0< 4x2-4x-32x+1+4<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03
4) fx=x2;a=3;L=9;E=0.5
la función es creciente en 0;∞+se necesita x1 y x2y1=8.5=x12y2=9.5=x12x1=8.5x1=2.91x2=9.5x2=3.08δ=3-2.915δ1=0.085δ=3.08-3δ2=0.08∴δ=0.08 y δ≤0.1 →si 0< x-3<0.08→x2-9<0.50< x-3<0.1-0.1< x-3<0.1-0.08+6<x-3+6<0.08+65.9< x+3<6.1→x+3<6.1se tiene: 0<x-3<δx+3<6.1x-3x+3<6.1δ6.1δ≤0.5δ≤0.08δmin(0.1 ;0.08)δ≤0.08∴0< x-3<0.08→x2-9<0.5
5) fx=x2-2x+1;a=2;L=1;E=0.4
la función es creciente en 1;∞+se necesita x1 y x2y1=0.6=x12-2x1+1y2=1.4=x12-2x2+1x1=2±22-4(0.4)2x1=1.77x2=2±22-4(-0.4)2x2=2.183δ=2-1.77δ1=0.23δ=2.18-2δ2=0.18∴δ=0.18 y δ≤0.2 →si 0<x-2<0.183→x2-2x+1-1<0.40< x-2<0.2-0.2< x-2<0.2-0.2+2< x-2+2<0.2+21.8< x<2.2→x<2.2se tiene: 0<x-2<δx<2.2xx-2<2.2δ2.2δ≤0.4δ≤0.18δmin(0.2 ;0.18)δ≤0.18∴0< x-2<0.183→x2-2x+1-1<0.4
6) fx=2x2+5x+3;a=-3;L=6;E=0.6
la función es decreciente en ∞+;-1.25se necesita x1 yx2y1=5.4=2x12+5x1+3y2=6.6=2x22+5x2+3x1=-5±52-4(2)(-2.4)4x1=-2.912x2=-5±52-4(2)(-3.4)4x2=-3.056δ=-2.912+3δ1=0.088δ=-3+3.056δ2=0.056∴δ=0.056 y δ≤0.1 →si 0< x+3<0.056→2x2+5x+3-6<0.60< x+3<0.12-0.1<2( x+3)<2(0.1)-0.2-7< 2x+6-7<0.2-7-7.2< 2x-1<-6.8
20) limx→7x-3=2
1) fx=x-3Dom=3; ∞+2) E>0; δ>00< x-7<δ→x-3-2<EAnálisis previo:0< x-7<δ→x-3-2<E0< x-7<δ→x-3-2)x-3+2)x-3+2)<E0< x-7<δ→x-3-4x-3+2)<E0<x-7<δ→x-7x-3+2)<E0< x-7<δ→x-7<Ex-3+2)0< x-7<δ→x-7<δ∴δ=Ex-3+2)Demostración:0< x-7<δ→x-3-2<E0<1x-3+2) x-7<1x-3+2)δ0< (x-3)-4x-3+2)<δx-3+2)0< x-3-2)x-3+2)x-3+2)<δx-3+2)0< x-3-2)<δx-3+2)Si: δ=Ex-3+2)→0< x-3-2)<Ex-3+2)x-3+2)→0< x-3-2)<E
21) limx→2x2+x-6x2+5x+6=0
1) fx=x2+x-6x2+5x+62) E>0; δ>00< x-2<δ→x2+x-6x2+5x+6<EAnálisis previo:0<x-2<δ→x+3(x-2)x+3(x+2)<E0< x-2<δ→(x-2)(x+2)<E0< x-2<δ→x-2<(x+2)E0< x-2<δ→x-2<δ∴δ=(x+2)EDemostración:0< x-2<δ→x2+x-6x2+5x+6<E0< 1(x+2)x-2<1(x+2)δ→x2+x-6x2+5x+6<E0< (x-2)(x+2)<δ(x+2)→x2+x-6x2+5x+6<E0< x+3(x-2)x+3(x+2)<δ(x+2)→x2+x-6x2+5x+6<E0< x2+x-6x2+5x+6<δ(x+2)→x2+x-6x2+5x+6<ESi: δ=(x+2)E→0<x2+x-6x2+5x+6<(x+2)E(x+2)→0< x2+x-6x2+5x+6<E
22) limx→2x2+4x-5x2-1=73
1) fx=x2+4x-5x2-12) E>0; δ>00< x-2<δ→x2+4x-5x2-1-73<EAnálisis previo:0< x-2<δ→x2+4x-5x2-1-73<E0< x-2<δ→x+5x-1x+1x-1-73<E0< x-2<δ→x+5x+1-73<E0< x-2<δ→3x+15-7x-73x+1<E0< x-2<δ→-4x+83x+1<E0< x-2<δ→4(x-2)3-x-1<E0< x-2<δ→(x-2)<3E-x-140<...
En los ejercicios del 1 al 12, se da f(x), a L, E.
a) Utilice una figura para determinar δ ˃ 0:si 0< x-a<δ→fx-L<E
b) Confirme analíticamente, empleando propiedades de las desigualdades, al δ encontrado en la parte anterior.
1) fx=x-1;a=4;L=3;E=0.03
la función es crecientese necesita x1 yx2y1=2.97=x1-1y2=3.03=x2-1x1=3.97x2=4.03δ=4-3.97δ1=0.03δ=4.03-4δ2=0.03∴δ=0.03→si 0< x-4<0.03→(x-1)-3<0.03→0< x-4<0.03→x-4<0.03
2) fx=5x-3;a=1;L=2;E=0.05
la función es crecientese necesita x1 y x2y1=1.95=5x1-3y2=2.05=5x2-3x1=0.99x2=1.01δ=1-0.99δ1=0.01δ=1.01-1δ2=0.01∴δ=0.01→si 0< x-1<0.01→(5x-3)-2<0.05→0< 5x-1<5(0.01)→(5x-3)-2<0.05→0< 5x-5<0.05→(5x-3)-2<0.05→0< (5x—3)-2<0.05→(5x-3)-2<0.053) fx=4x2-4x-32x+1;a=-12;L=-4;E=0.03
se necesita x1 y x2y1=-4.03=4x12-4x1-32x1+1y2=-3.97=4x22-4x2-32x2+1x11≈-0.5x12≈-0.515x21≈-0.435x22≈-0.557δ=-0.5+0.515δ1=0.015δ=-0.435+0.5δ2=0.065∴δ=0.015→si 0< x+0.5<0.015→4x2-4x-32x+1+4<0.03 →0< 2x+0.5<2(0.015)→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0< 2x+1<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0< 2x-3+4<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0<(2x-3)+4<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0< (2x-3)(2x+1)(2x+1)+4<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03→0< 4x2-4x-32x+1+4<0.03→4x2-4x-32x+1+4<0.03
4) fx=x2;a=3;L=9;E=0.5
la función es creciente en 0;∞+se necesita x1 y x2y1=8.5=x12y2=9.5=x12x1=8.5x1=2.91x2=9.5x2=3.08δ=3-2.915δ1=0.085δ=3.08-3δ2=0.08∴δ=0.08 y δ≤0.1 →si 0< x-3<0.08→x2-9<0.50< x-3<0.1-0.1< x-3<0.1-0.08+6<x-3+6<0.08+65.9< x+3<6.1→x+3<6.1se tiene: 0<x-3<δx+3<6.1x-3x+3<6.1δ6.1δ≤0.5δ≤0.08δmin(0.1 ;0.08)δ≤0.08∴0< x-3<0.08→x2-9<0.5
5) fx=x2-2x+1;a=2;L=1;E=0.4
la función es creciente en 1;∞+se necesita x1 y x2y1=0.6=x12-2x1+1y2=1.4=x12-2x2+1x1=2±22-4(0.4)2x1=1.77x2=2±22-4(-0.4)2x2=2.183δ=2-1.77δ1=0.23δ=2.18-2δ2=0.18∴δ=0.18 y δ≤0.2 →si 0<x-2<0.183→x2-2x+1-1<0.40< x-2<0.2-0.2< x-2<0.2-0.2+2< x-2+2<0.2+21.8< x<2.2→x<2.2se tiene: 0<x-2<δx<2.2xx-2<2.2δ2.2δ≤0.4δ≤0.18δmin(0.2 ;0.18)δ≤0.18∴0< x-2<0.183→x2-2x+1-1<0.4
6) fx=2x2+5x+3;a=-3;L=6;E=0.6
la función es decreciente en ∞+;-1.25se necesita x1 yx2y1=5.4=2x12+5x1+3y2=6.6=2x22+5x2+3x1=-5±52-4(2)(-2.4)4x1=-2.912x2=-5±52-4(2)(-3.4)4x2=-3.056δ=-2.912+3δ1=0.088δ=-3+3.056δ2=0.056∴δ=0.056 y δ≤0.1 →si 0< x+3<0.056→2x2+5x+3-6<0.60< x+3<0.12-0.1<2( x+3)<2(0.1)-0.2-7< 2x+6-7<0.2-7-7.2< 2x-1<-6.8
20) limx→7x-3=2
1) fx=x-3Dom=3; ∞+2) E>0; δ>00< x-7<δ→x-3-2<EAnálisis previo:0< x-7<δ→x-3-2<E0< x-7<δ→x-3-2)x-3+2)x-3+2)<E0< x-7<δ→x-3-4x-3+2)<E0<x-7<δ→x-7x-3+2)<E0< x-7<δ→x-7<Ex-3+2)0< x-7<δ→x-7<δ∴δ=Ex-3+2)Demostración:0< x-7<δ→x-3-2<E0<1x-3+2) x-7<1x-3+2)δ0< (x-3)-4x-3+2)<δx-3+2)0< x-3-2)x-3+2)x-3+2)<δx-3+2)0< x-3-2)<δx-3+2)Si: δ=Ex-3+2)→0< x-3-2)<Ex-3+2)x-3+2)→0< x-3-2)<E
21) limx→2x2+x-6x2+5x+6=0
1) fx=x2+x-6x2+5x+62) E>0; δ>00< x-2<δ→x2+x-6x2+5x+6<EAnálisis previo:0<x-2<δ→x+3(x-2)x+3(x+2)<E0< x-2<δ→(x-2)(x+2)<E0< x-2<δ→x-2<(x+2)E0< x-2<δ→x-2<δ∴δ=(x+2)EDemostración:0< x-2<δ→x2+x-6x2+5x+6<E0< 1(x+2)x-2<1(x+2)δ→x2+x-6x2+5x+6<E0< (x-2)(x+2)<δ(x+2)→x2+x-6x2+5x+6<E0< x+3(x-2)x+3(x+2)<δ(x+2)→x2+x-6x2+5x+6<E0< x2+x-6x2+5x+6<δ(x+2)→x2+x-6x2+5x+6<ESi: δ=(x+2)E→0<x2+x-6x2+5x+6<(x+2)E(x+2)→0< x2+x-6x2+5x+6<E
22) limx→2x2+4x-5x2-1=73
1) fx=x2+4x-5x2-12) E>0; δ>00< x-2<δ→x2+4x-5x2-1-73<EAnálisis previo:0< x-2<δ→x2+4x-5x2-1-73<E0< x-2<δ→x+5x-1x+1x-1-73<E0< x-2<δ→x+5x+1-73<E0< x-2<δ→3x+15-7x-73x+1<E0< x-2<δ→-4x+83x+1<E0< x-2<δ→4(x-2)3-x-1<E0< x-2<δ→(x-2)<3E-x-140<...
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