Limites

Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ciencias Económicas
Matemática para Economistas I
TEMA: Límite de una Función
(Apuntes de clase)

Miguel Ataurima Arellano


02 de Junio de 2010

1

De…nición

De…nición 1 (De…nición "
función f(x) cuando x ! x0

) Se dice que el número L es el límite de una
lim f (x) = L

x!x0

(1)

si para todo > 0 existe un número () > 0 tal que para todo x dentro de una bola
abierta B (x0 ) de centro x0 y radio > 0, existe una bola abierta B (L) de centro
L y radio > 0 en la que se encuentra f (x). En símbolos
8 > 0; 9 ( ) > 0 = x 2 Dom f ^ x 2 B (x0 ) ) f (x) 2 B (L)

1

Mas explícitamente
8 > 0; 9 ( ) > 0 = x 2 Df ^ 0 < kx

x0 k <

) 0 < kf (x)

Lk <

Dado que nos encontramos trabajando con funcionesreales de variable real, o sea
f : Dom f

Rm ! Ran f

Rn ;

m=n=1

y que la métrica utilizada ha de ser la euclidiana, o sea
v
v
u 1
u n
q
uX
uX
2
2
t
t
kx x0 k =
(xi x0 ) =
(xi x0 ) = (x
i=1

i=1

x0 )2 = jx

x0 j

la de…nición de límite puede escribirse así

8 > 0; 9 ( ) > 0 = x 2 Df ^ 0 < jx

x0 j <

) 0 < jf (x)

Lj <

(2)

De…nición 2 (De…nición segúnHeine) La notación dada por la expresión (1)
signi…ca que para toda fxi g1 (sucesión de valores de x) que converge hacia el
i=1
número x0 , pertenecientes al dominio de de…nición de la función y distintos de x0 ,
la sucesión de valores ff (xi )g1 tiene un límite, que es el número L.
i=1

2

Demostración del Límite de una función

Para demostrar la existencia de un límite, tenemos queencontrar un
cual efectuaremos los siguientes pasos

> 0, para lo

1. Manipulamos algebraicamente la expresión jf (x) Lj de manera que adopte
la forma
jf (x) Lj = jg(x)j jx x0 j
(3)
2. Acotamos g(x) dándole la forma
jg(x)j
(a) Asignamos un valor inicial a
función f (x)

(4)

M

( =

1)

según la forma que tenga la

i. Si f (x) es un polinomio
1
n
+
con n 2 R
f0g, enparticular conviente elegir n 2 Z+ .
ii. Si f (x) es el cociente de dos polinomios
1

1

=

=

1
ja
n+1

x0 j

con n 2 Z+ , donde a es la asíntota vertical mas cercana a x0 .
iii. Si f (x) es una función que contiene radicales de índice par, el acotamiento de g(x) se hace a partir del dominio de f .
Observación: En caso no se pueda acotar g(x) bajo la forma dada
por (4) se deberáelegir otro = 01 < 1 y repetir de nuevo el proceso.
2

(b) Manipulamos algebraicamente la expresión 0 < jx x0 j < 1 ( 1 fué
elegido en el paso 2) de manera que se acote a g(x) bajo la forma dada
por la expresión (4)
3. Reemplazamos (4) en (3)
jf (x)

Lj = jg(x)j jx

de donde despejamos jx

x0 j

M jx

x0 j, obteniendo así un
jx

x0 j <

1
=
M

2(

2

x0 j <
=

2()

)

4. Finalmente tomamos como , el mínimo de los encontrados
= min f 1 ;

2g

con lo que el límite queda demostrado.

3

Cálculo de Límites de Funciones
1. Si existen los límites limx!a u(x) y limx!a v(x) entonces se cumplen los teoremas siguientes
(a) lim [u(x)

v(x)] = lim u(x)

x!a

lim v(x)

x!a

x!a

(b) lim [u(x) v(x)] = lim u(x) lim v(x)
x!a

x!a

(c) limu(x) =
v(x)
x!a

lim u(x)

x!a

lim v(x)

x!a

x!a

lim v(x) 6= 0

x!a

2. Para todas las funciones elementales importantes en cualquier punto de su
dominio de de…nición se cumple la iguladad
lim f (x) = f lim x = f (a)

x!a

x!a

3. Para todos los valores de x en una bola abierta de centro a las funciones f (x)
y '(x) son iguales y una de ellas tiene un límite cuando xtiende a a, entonces
la otra tiene el mismo límite.
4. Son de uso frecuente los siguientes límites
(a) lim senx = 1
x
x!0

(b) lim 1 +
x!1

(c)

1 x
x

lim loga (1+x)
x
x!0

1

= lim (1 + ) = e = 2:71828 : : :
!1

= loga e (a > 0; a 6= 1)

(d) lim ln(1+x) = 1
x
x!0

x

(e) lim a x 1 = ln a (a > 0)
x!0

(f) si lim f (x) = 1 y lim '(x) = 1 entonces
x!a

x!a...