limites

Límites elementales

Límites y continuidad
1 Límites elementales
Ejercicio 1.

Calcula los siguientes límites

a) lim x→∞

x
7x+4

b) lim x→∞

5x+3
2x2 +1
x2 −4
x−2

c) lim x→2
d) lim x→2+

x2 +4
x−2

Solución 1.
=

a) lim x→∞

x
7x+4

b) lim x→∞

5x+3
2x2 +1
x2 −4
x−2

c) lim x→2
d) lim x→2+

a) lim x→4
b) lim x→0

1
x

=0

= lim x→2

x2 +4x−2

Ejercicio 2.

1
7

(x−2)(x+2)
x−2

= lim x→2 x + 2 = 4

= +∞

Calcula los siguientes límites
−

1
4

1
x−4

,

x4
,
3x3 +2x2 +x
√

c) lim x→1

x−1
| x−1 | ,

d) lim x→1

√
x−1
| x−1 | ,

Solución 2.
a) lim x→4
b) lim x→0

1
x

−

1
x−4

x4
3x3 +2x2 +x
√

c) lim x→1

1
4

x−1
| x−1 |

1
= − 16
.

= 0.

= +∞.

d) No existelim x→1

√
x−1
| x−1 |

ya que los límites laterales no coinciden. Más concretamente,
√
√
√
x−1
x−1
x+1
x−1
1
lim
= lim
·√
= lim
·
√ ,
x→1 | x − 1 |
x→1 | x − 1 |
x→1
x
−
1
|
|
x+1
1+ x

–1–

Límites elementales

que, dependiendo de por dónde nos acerquemos a 1 tiende a
Ejercicio 3.
√

a) lim x→0

1
2

o − 12 .

Calcula los siguientes límites

√1+x− 1−x
x

b) lim x→0

√
√1+x−1
1−x−1

c) lim x→0

2x+3
√
3
26+x−3

d) lim x→+∞

√
√
x+ x− x

Solución 3.
a) Multiplicamos y dividimos por el conjugado,
√
√
√
√
√
√
1+x− 1−x
1+x− 1−x 1+x+ 1−x
2x
lim
= lim √
= lim
·√
= 1.
√
√
x→0
x→0
x→0
x
x
1+x+ 1−x
x 1+x+ 1−x
b) Multiplicamos por los conjugados de numerador y denominador,
√
√
√
√
√
1+x−11+x−1
1+x+1
1−x+1
1−x+1
lim √
= lim √
·√
·√
= lim − √
= −1.
x→0 1 − x − 1
x→0 1 − x − 1
1+x+1
1 − x + 1 x→0
1+x+1
c) No hay ninguna indeterminación: lim x→0

2x+3
√
3
26+x−3

=

3
√
.
3
26−3

d) Multiplicamos y dividimos por el conjugado,

lim

x→+∞

√

√

x + x − x = lim

x→+∞

√

x+ x− x ·
√

= lim

x→+∞

Ejercicio 4.

Calcula los siguienteslímites

a) lim x→0

|x|
x2 +x

b) lim x→1

x2 −1
| x−1 |

c) lim x→2

x2 +x+6
x2 −4

d) lim x→0

1
2−21/x

e) lim x→0

1
e1/x +1

Solución 4.

–2–

√

x
1
= .
√
√
2
x+ x+ x

√
√
x+ x+ x
√
√
x+ x+ x

Límites y continuidad

a) Estudiamos los límites laterales.
x
1
|x|
= lim+
= lim+
= 1,
+ x x→0 x(x + 1) x→0 x + 1
−x
−1
|x|
lim
= lim−
= lim−= −1.
x→0− x2 + x
x→0 x(x + 1)
x→0 x + 1
lim+

x→0 x2

b) Calculamos los límites por la derecha y por la izquierda.
lim+

(x − 1)(x + 1)
x2 − 1
= lim+
= lim+ x + 1 = 2,
x→1
x−1
| x − 1 | x→1

lim−

(x − 1)(x + 1)
x2 − 1
= lim+ −(x + 1) = −2.
= lim−
x→1
1−x
| x − 1 | x→1

x→1

x→1

c) El límite por la izquierda vale −∞ y el límite por la derecha +∞.
d) lim x→0+1
2−21/x

= 0 y lim x→0−

1
2−21/x

= 12 .

e) lim x→0+

1
e1/x +1

= 0 y lim x→0−

1
e1/x +1

= 1.

2 Límites y continuidad
Ejercicio 5.

Sean f, g: R → R las funciones definidas por

a)
 1

, si x = 0


 1+e1/x
f (x) = 



0,
si x = 0
b)
 ex

, si x < 0


 x
g(x) = 
x,
si 0 ≤ x < 1


 √5
x, si x ≥ 1
Estudia la continuidadde f y g y la existencia de límites de f y g en +∞ y −∞.
Solución 5.
a) En primer lugar estudiemos la continuidad de

1




 1 + e1/x , si x = 0
f (x) = 




0,
si x = 0
El carácter local de la continuidad nos da que f es continua en R∗ . Veamos qué ocurre en el
origen. Para ello estudiamos los límites laterales en 0:
lim+

x→0

1
1
= 0, y lim−
= 1.
1/x
x→0 1+ e1/x
1+e

–3–

Límites y continuidad

Por tanto f no es continua en el origen. Por último
1
1
1
1
= , y lim
= .
1/x
1/x
x→−∞ 1 + e
x→+∞ 1 + e
2
2
lim

b) La función
 ex

, si x < 0


 x
g(x) = 
x,
si 0 ≤ x < 1


 √5
x, si x ≥ 1
es continua en R \ {0, 1} por el carácter local. Veamos los límites laterales en 0 y 1:
lim−

x→0

ex
= −∞
x...