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HISTORIA E INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS
1) George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas yexplicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.
El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron másparadojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".



Paradoja de Russell
La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.
La paradoja en términos de conjuntosSupongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito es el que supone un conjunto que consta de "ideas abstractas". Dicho conjunto es miembro de sí mismo porque el propio conjunto es una idea abstracta, mientras que un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro. Russell preguntaba (en carta escritaa Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están incluidos en sí mismos, como el de "libros" en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto formaparte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.


Enunciado formal de la paradoja
Llamemos al "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Es decir
(1)
Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representar por
(2)
es decir "Cada conjunto es elemento de si y sólo si no es elemento de símismo".
Ahora, en vista de que es un conjunto, se puede substituir por en la ecuación (2), de donde se obtiene
(3)
Es decir que es un elemento de si y sólo si no es un elemento de , lo cual es absurdo.
La paradoja en términos del barbero
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en ponersanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:
—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarmepor mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.[1]
La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términosmás cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero que se puede enunciar de la siguiente manera:

En lógica de primer orden,
la paradoja del barbero se puede expresar como:

Donde significa " es afeitado por ". Lo anterior se leería como "Cada persona es afeitada por el barbero si y sólo si no se afeita a sí misma". Es importante notar la semejanza entre las ecuaciones (2) y (4)....