Medidas De Posici N Para Datos No Agrupados

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Guía Matemática
´ para datos no
Medidas de posicion
agrupados
˜
tutor: Juan Jose´ Munoz

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1.

Cuantiles

Los segundos medios A y B, ambos con igual n´
umero de estudiantes, rindieron una prueba de conocimientos m´
ultiples. La calificaci´
on promedio de ambos cursos es la misma e igual a 5,4, y la desviaci´
on
est´andar es mayor para el segundo medio B, conσA = 0, 51 y σB = 1, 38.
¿A qu´e conclusi´
on llegamos?

Calificación

Con dichos datos solo podemos afirmar que la dispersi´on de las calificaciones obtenidas es mayor para el
segundo medio B, o equivalentemente, el nivel acad´emico de sus estudiantes es m´as dispar. Pero, ¿qu´e pasa
con la distribuci´on de las calificaciones para cada uno de los segundos medios? ¿Qu´e forma adopta ladistribuci´on? ¿Existe alg´
un indicador que haga referencia al comportamiento de las calificaciones dentro
del conjunto de datos? Existen indicadores que nos entregan una idea global acerca de la distribuci´
on de
los datos del conjunto. Dichos indicadores ir´an esbozando una gr´afica como el de la siguiente figura, la
cual ilustra las calificaciones obtenidas por los segundos medios.

5,4

Estudiantes
2°medio A

2° medio B

Calificación promedio

Cuando se desea analizar un conjunto de un determinado n´
umero de datos, no siempre las medidas
de tendencia central o las medidas de dispersi´on son suficientes para poder extraer informaci´on relevante
para el an´alisis deseado.
Cuando un conjunto de datos est´
a ordenado por magnitud, el valor central o mediana divide al
conjunto en dos partes iguales.Podemos extender esta idea pensando en aquellos valores que dividen al
conjunto en cuatro partes iguales, en diez partes iguales o incluso en cien partes iguales. A estos valores
los llamamos cuantiles.
En estad´ıstica descriptiva, los cuantiles corresponden a medidas de posici´on no central y permiten
conocer la forma en que se distribuyen los datos dentro del conjunto. Los cuantiles m´as usadosson los
cuartiles, los quintiles, los deciles y los percentiles.

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1.1.

Cuartiles

En un conjunto de datos ordenados de forma creciente, se llama cuartiles a los tres valores C1 ,
C2 y C3 que dividen al conjunto en cuatro partes iguales. Como consecuencia, el segundo cuartil corresponde a la mediana del conjunto, pues lo divide en dos partes porcentualmente iguales. El primercuartil
corresponde a la mediana de la primera mitad de valores, mientras que el tercer cuartil corresponde a la
mediana de la segunda mitad de valores.
Dado un conjunto de n datos, la posici´
on Pk del cuartil k-´esimo la obtenemos mediante la siguiente
relaci´on:
kn
Pk =
,
con k = 1, 2, 3
(1)
4
Una vez encontrado el valor que corresponde a Pk , el primer valor cuya frecuencia absoluta acumuladalo supera es Ck .
Cuando el n´
umero de elementos del conjunto es par (n es par), el c´alculo de los cuartiles considera el
promedio los dos valores centrales, esto es, el valor que define el cuartil k−´esimo y el valor inmediatamente
mayor.

✎ Ejemplo
Los siguientes ejemplos ilustran 4 casos que debe tener presente en el c´alulo de los cuartiles.
1. Sea el conjunto de n´
umeros {3, 7, 1, 8, 6, 5,2, 4}. Calcule el valor de cada cuartil.
Soluci´
on:
Ordenamos los n´
umeros de forma creciente:
1−2−3−4−5−6−7−8
kn
, con k = 1, 2, 3 para obtener la posici´on (o equivalentemente, la frecuencia abso4
luta acumulada) de cada cuartil:
1·8
=2
P1 =
4
2·8
P2 =
=4
4
3·8
=6
P3 =
4
Usamos Pk =

Observe que el conjunto est´
a conformado por un n´
umero par de elementos. Si lo dividimos a la
mitad seobtienen dos subconjuntos pares. Luego, el primer cuartil queda definido por el promedio
entre los elementos que ocupan la segunda y tercera posici´on, el segundo cuartil queda definido por
el promedio entre los elementos que ocupan la cuarta y quinta posici´on y el tercer cuartil queda
definido por el promedio entre los elementos que ocupan la sexta y s´eptima posici´on:
C1 =

2+3
= 2, 5
2

C2 =...