Medidas De Dispersi N

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Guía Matemática
´
Medidas de dispersion
˜ Caro
tutor: Ismael Saldana

.cl

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1.

Medidas de dispersi´
on

Llegado el verano, Nicol´
as decide tomarse unas vacaciones. Dos son los destinos que baraja, los cuales
denotaremos como A y B. Dado que a Nicol´as no le gusta mucho el sol, decide optar por el destino cuyas
temperaturas m´aximas sean en promedio m´as bajas.Para ello observa el registro de temperaturas m´
aximas del u
´ltimo mes para ambos destinos y calcula su promedio (figura 1). Para su sorpresa, tanto A como
B promedian la misma temperatura m´
axima, lo cual lo deja muy contento pues podr´a elegir libremente
su destino.

Lunes

Martes

30°C
23°C
6°C
11°C

27°C
30°C
35°C
22°C

Lunes

Martes

21°C
24°C
20°C
17°C

24°C
18°C
21°C
23°C

°C

Miércoles12°C
8°C
27°C
17°C
36°C

Destino A
Jueves
Viernes
19°C
10°C
28°C
24°C
10°C
27°C
21°C
8°C
15°C

Sábado
36°C
9°C
18°C
29°C

Miércoles
22°C
22°C
24°C
20°C
21°C

Destino B
Jueves
Viernes
25°C
23°C
20°C
17°C
16°C
21°C
19°C
22°C
23°C

Sábado
18°C
19°C
22°C
21°C

Domingo
15°C
33°C
24°C
20°C

°C

Domingo
23°C
25°C
22°C
17°C

Figura 1. Temperaturas máximas registradas para los destinos A y B.
¿Es correctoel procedimiento que Nicol´as adopta para elegir entre ambos destinos? De no serlo,
¿qu´e otros procedimientos debi´
o considerar en su decisi´on?
Por un lado, el procedimiento realizado por Nicol´as es correcto, ya que sabemos que el promedio (o
media aritm´etica) de un conjunto de datos es aquel valor que los “representa”, sin embargo, no debe dejar
pasar que el promedio es “sensible” a valoresextremos. En el destino A por ejemplo, las temperaturas
m´aximas registradas var´ıan enormemente: desde los 6◦ C hasta los 36◦ C, contrario a las temperaturas
m´aximas registradas en el destino B, las cuales se concentran pr´oximas a los 21◦ C.
Sigue que, si Nicol´
as elige el destino A, lo m´as probable es que un d´ıa sea muy poco soleado y al
siguiente haya un calor insoportable, mientras que sielige el destino B se asegura que las temperaturas
m´aximas durante su estancia ser´
an similares. En este sentido, se espera que las temperaturas m´
aximas
sean m´as homog´eneas (similares) para el destino B que para el A.
En consecuencia, para comparar dos o m´as conjuntos de datos debemos considerar no solo sus medidas
de tendencia central (en particular el promedio) sino que tambi´ennecesitamos de alg´
un instrumento
matem´atico que nos indique acerca de su dispersi´on, es decir, qu´e tanto var´ıan los datos del conjunto,
tanto entre s´ı como con respecto a su media. Dichas herramientas corresponden a las medidas de
dispersi´
on, entre las que se estudiar´
a el rango, la desviaci´on media, la varianza y la desviaci´on est´
andar.

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El promedio (media aritm´etica)es un indicador sensible a los valores
extremos. En otras palabras, la media puede resultar no representativa en presencia de datos cuyos valores sean mucho mayores o mucho
menores que la mayor´ıa de ellos.

1.1.

Rango

El rango se define como la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de un conjunto. Se designa
con la letra R.
El rango nos informa la “amplitud” que abarca el conjunto enbase a sus valores extremos, pero ignora todo aquello que pueda ocurrir dentro de los mismos, raz´on por la cual no resulta un indicador de
dispersi´on suficiente.
Siguiendo el ejemplo inicial, el rango de las temperaturas m´aximas para los destinos A y B son:
RA : 36◦ C − 6◦ C = 30◦ C
RB : 25◦ C − 16◦ C = 9◦ C
Lo anterior nos indica que la variabilidad de temperaturas m´aximas es mayor para eldestino A. Sin
embargo, dado que solo se consideran dos datos del total (el mayor y el menor), no tenemos certeza de
lo que ocurre con el resto de ellos (evidentemente, suponiendo que no tenemos el registro de la figura 1).
Para averiguarlo se define la desviaci´
on media.

1.2.

Desviaci´
on media

La desviaci´on media de un conjunto de datos se define como el promedio de las distancias de cada...