Metodos De Sustitucion Trigonometrica

Integrales por Sustitución Trigonométrica

1. En qué consiste esta técnica de integración.

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipode funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas, como por ejemplo nuestra conocida fórmula:

11-x2 dx=arcsenx+c
La cual "resolveremos" con el fin de motivar eluso del método.
Observe que si tomamos el cambio de variable
x=senθ donde –π2<θ<π2 pues -1<x<1
Y en consecuencia dx=cosθdθ y
1-x2 =1-sen2θ=cos2θ =cosθ=cosθ
Pues cos > 0 enel intervalo -/2<</2
Sustituyendo x en términos de, obtenemos una integral en la variable, la cual
Resolvemos fácilmente y del cambio de variable la expresamos en términos de x.11-x2dx=1cosθcosθ dθ=dθ=θ+c=arcsenx+c
Como podemos apreciar, al abordar este tipo de integrales siempre tendremos que resolver una integral trigonométrica.

2. Explique los tres casos que siguen esta técnica.Primer caso.
Si en el integrando aparece un radical de la forma a2-x2 tomamos el cambio de Variable x = a sen, con a > 0. Como se apreció anteriormente, la variación de x en el intervalo(-a, a) se corresponde con la variación de en el intervalo (-/2, /2)
En este primer caso la expresión del radical en términos de será:

a2-x2=a2 -a2sen2θ=a2(1-sen2θ)=acos2θ=acosθ=a cosθ

Estaúltima igualdad pues cos > 0 en el intervalo (-/2, /2).

También del cambio de variable obtenemos el valor de = arcsenx, pues la función inversa de f(x) = senx se encuentra definida precisamenteen el intervalo (-a, a) y con valores en (-/2, /2).

Segundo caso.
Si en el integrando aparece un radical de la forma a a2+x2 tomamos el cambio de
Variable x = a tan, con a > 0.

En estetipo de radicales la variación de x es en toda la recta real, razón por la cual se toma a la tangente, la cual varía tiene esta misma variación en el intervalo (-/2, /2)
En este segundo caso la...