sustitucion trigonometrica

CURSO: CÁLCULO II
Tema

:

Integración Por Sustitución Trigonométrica

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
Se puede utilizar sustituciones trigonométricas para resolver integrales cuyos
integrandos contengan los radicandos:

a2  u 2

u 2  a2

u 2  a2

Donde u  f (x) una función de x .
Para estos casos, el método más corto para integrar tales funciones es efectuar uncambio de variable del siguiente modo:

Función

Triangulo a construir

a2  u 2

u 2  a2

u 2  a2

Facultad de Ingeniería

Hacer

u
 sen
a

u
   arcsen  
a

u
 sec 
a
u
   arc sec  
a

u
 tan 
a
u
   arctan  
a

Sustitución

u  asen
du  a cos  d

u  a sec
du  a sec  tan d

u  a tan 
du  a sec2  dSemestre 2013-II

El propósito de estas sustituciones (o cambios de variables) es eliminar los radicales.
Eso se consigue con las identidades de Pitágoras:
sen2  cos2   1

,

1  tan 2   sec2 

Ejemplos:
1. Calcular I  

dx
x2  a2

Solución:
En primer lugar, elegimos u  x , puesto que la derivada ésta función es muy fácil
De donde tenemos que:

x2  a2

x
a x  a tan 
tan  

x

 dx  a sec 2  d


a

 x
a

Además   arctan  , por otro lado
x 2  a 2  a 2 tan 2   a 2  a 2  tan 2   1
 a sec 
2

;

2

Luego sustituyendo en la integral tenemos:

I 

dx
x2  a2

Por lo tanto:





a sec2  d
a 2 sec2 

dx
x2  a2

2. Calcular I  





d 1
  C
a
a

1
 x
arctan  C
a
a

x 2 dx
1  x2

Solución:
Del triángulo se tiene:
x
 sen
1

Facultad de Ingeniería

Semestre 2013-II

 x  sen
 dx  cos  d

Además cos   1  x 2
Luego en la integral:
x 2 dx

I 

1  x2



sen 2 cos  d
1  cos 2
  sen 2 d  
d
cos 
2

d
cos 2
 sen2

d  
C
2
2
2
4
 2sen cos 
 
C
2
4
 sen cos  
C
2
2




arcsenx x 1  x 2

C
2
2

3. Calcular I  

x

dx
2

2 

3/2

Solución:

x
 tan 
2

Hacer:

 x  2 tan 
 dx  2 sec2  d
Además:
x 2  2  2 tan 2   2
 2(tan 2   1)
 2sec 2 

Luego en la integral:

I 

x

dx
2

2 

3/2



2 sec2 

d 
3/2

 2sec  
2

2 sec2 
1
1
 sec3  d  2 sec d
2 2



1
1
 cos d  2 sen  C
2



1
x
C
2
2 x 2

Facultad de Ingeniería

Semestre 2013-II

4. Calcular I  

x2  3
dx
x

Solución:

Hacer:

x
 sec 
3
 x  3 sec 
 dx  3 sec  tan d

Sustituir en la integral:
I 

x2  3
3sec2   3 3 sec  tan 
dx  
d   3  sec2   1 tan  d
x
3 sec 

  3tan 2  tan  d  3 tan  tan  d  3  tan 2  d
 3   sec2   1 d  3

  sec  d   d 
2

 3  tan      C
 x2  3
 x 
 3
 arc sec 
  C

3
 3 


 x 
 x 2  3  3arc sec 
C
 3

5. Calcular I  

x3 dx
2  x2

Solución:

Hacer:

2

x

x
 s en
2


2  x2
Facultad de Ingeniería

Semestre 2013-II

 x  2 s en
 dx  2 cos d

Sustituir en la integral
I 

x3 dx
2  x2



2 2sen3 2 cos  d
 2 2  sen3 d
2 cos 

 2 2  sen2 sen d  2  1  cos 2   sen d  2  sen  cos 2  sen d


cos3  
 2 2   cos  
C
3 


2  x2 2  x2
 2 2


2
2

 2 2  x   2  x
2

Calcular I  

6.

2

2  x2
3 2


C



2  x2
C
3



x 2 dxx2  4

Solución:

x

x
Haciendo:  sec 
2



 x  2sec
 dx  2sec  tan d

I 

x 2 dx
x2  4

 8



4sec2  2sec  tan  d
4sec2   4

x2  4

2
 8

sec3  tan  d
4  sec2   1

 8

sec3  tan  d
4 tan 2 

sec3  tan  d 
 4 sec3  d 
2 tan 

Hallando I1   sec3  d 

 sec

3

 d    sec  sec2  d ...