Minimos Cuadrados Ponderados

Mínimos Cuadrados Ponderados |
|
JOSE MIGUEL MARTINEZ BETANCOURTRAMIRO FORTINO MALVAEZ GRACIASALVADOR NERI FLORES SOTO |

INTRODUCCIÓN
En las diferentes áreas de investigación, muchas veces, surge la necesidad de cuantificar relaciones entre variables en un intento de “explicar” el comportamiento de una de ellas en función de las otras. Estos modelos uniecuacionales de regresión utilizangeneralmente estimación de mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Este tipo de análisis generalmente se hace utilizando los modelos lineales y en particular los modelos de regresión y de análisis de varianza. Esta clase de modelos suponen que la variable respuesta es siempre continua, y en general normalmente distribuida con media y varianza constante.
Cuando estos supuestos no se cumplen, sepresentan algunos problemas en las propiedades de los estimadores MCO; en particular cuando no se tienen varianzas homogéneas, el estimador de MCO sigue siendo insesgado y consistente, pero ya no es eficiente ni siquiera asintóticamente
Cuando la matriz de varianzas-covarianzas es singular, esto es, cuando las columnas de la matriz de varianzas-covarianzas son linealmente dependientes, no existe unasolución única para el estimador de MCO, a este problema se le denomina colinealidad exacta. Cuando nos acercamos a la situación anterior, es decir, cuando las columnas de la matriz de varianzas-covarianzas están cerca de ser linealmente dependientes, el estimador de MCO existe, pero presentan los siguientes problemas inferenciales:

1. Varianzas de gran magnitud
2. Poca potencia de laspruebas de hipótesis
3. Inestabilidad en el signo de los parámetros estimados.
4. La esperanza de la norma del vector de parámetros estimados es grande.
5. Sesgo al omitir una variable colineal

Esta situación es definida como el problema de colinealidad. Una de las técnicas más usadas para remediar los problemas de heterogeneidad de varianzas es la estimación de Mínimos CuadradosPonderados (MCP); sin embargo, el condicionamiento de la matriz de información se ve afectado por las magnitudes de los ponderadores. De tal forma que pueden presentarse los problemas asociados a la colinealidad, aún cuando las variables explicativas no son linealmente dependientes.
En el contexto de los datos categóricos, el método de Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP) es considerado como un métodovariacional, pues el mayor interés se centra en estudiar la variación de los elementos del vector de la función respuesta, relativa a la estructura de las subpoblaciones. En otras palabras, generalmente nuestro interés está relacionado en una comparación de las distribuciones de la respuesta entre las diversas subpoblaciones.
La metodología de MCP puede ser usada en condiciones más generales quela metodología de Máxima Verosimilitud (MV), siempre que el tamaño de muestra sea suficientemente grande. Esta metodología tiene la ventaja de ser computacionalmente más simple que aquella basada en MV, siendo más útil cuando se tiene una variable respuesta y varias covariables.
Es necesario recordar que el método de MV es más útil cuando la distribución de las variables son conocidas, puesaunque tanto los estimadores como los resultados de las pruebas de hipótesis correspondientes encontrados con este método son asintóticamente equivalentes a los encontrados con el método de MCP, la mayor ventaja del método de MV es que en general las restricciones relativas a los tamaños de muestra para validar estas aproximaciones son menos rigurosas que en el caso de MCP.

MÉTODO DE MINIMOSCUADRADOS PONDERADOS PARA LA ESTIMACIÓN DE MODELOS LINEALES GENERALIZADOS

En presencia de heterocedasticidad, una respuesta posible es aplicar estadísticos robustos luego de estimar por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Antes de su desarrollo, la respuesta a una búsqueda de la heterocedasticidad fue modelar y estimar su forma concreta. Lo anterior proporciona un estimador más eficiente que el MCO...