Modelo matematico de sistema fisicos

3. Modelado Matemático de Sistemas Físicos.
El primer paso para el diseño de un sistema de control consiste en obtener
ecuaciones diferenciales para todas aquellas partes del sistema que no varían.
Comúnmente los componentes del sistema de control incluyen elementos
eléctricos, electrónicos, mecánicos, electromecánicos, hidráulicos, térmicos,
biológicos y químicos.

3.2.1. SistemasMecánicos de Translación.
Las relaciones de fuerza y posición de los elementos mecánicos de translación
masa, resorte y amortiguador se dan en la siguiente tabla.

Un método de análisis de los sistemas mecánicos de translación que comprenden
estos elementos es el siguiente:
1. Se definen posiciones con sentidos direccionales para cada masa del
sistema.
2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre decada una de las masas,
expresando las fuerzas que actúan sobre ellas en términos de posiciones
de masa.
3. Se escribe una ecuación para cada masa, igualando la suma algebraica de
las fuerzas que actúan sobre ellas con la fuerza inercial.

Este procedimiento se aplica al sistema de la siguiente figura, donde se han
definido las posiciones de las masas.

En la siguiente figura se muestranlos diagramas de cuerpo libre de las dos
masas. Al aplicar las fuerzas para la primera masa se obtiene

Al igualar las fuerzas para la primera masa se obtienen:

La fuerza aplicada a la segunda masa, f(t), tiene el mismo sentido que x 2, de
manera que lleva signo positivo en la ecuación de fuerzas para esa masa:

A agrupar términos, las dos ecuaciones diferenciales simultáneas, en x1 y x2,del
sistema de translación son:

3.2.2. Sistemas Mecánicos de Rotación.
El método que se utiliza para obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento
angular es similar al correspondiente al movimiento de translación. Las relaciones
par de torsión-posición de los elementos de rotación se resumen en la siguiente
tabla:

Un procedimiento de análisis es como sigue:

1. Se definen lasposiciones angulares son sentidos direccionales de cada
masa en rotación.
2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de cada masa rotatoria, expresando
cada par de torsión (Torque en inglés) en términos de las posiciones
angulares de las masas.
3. Se escribe una ecuación de cada masa rotatoria, igualando la suma
algebraica de los pares de torsión sobre ellas con el par de torsión inercial.Este procedimiento se aplica al sistema de rotación de la siguiente figura.

Los diagramas de cuerpo libre de este sistema se muestran en la siguiente figura.

Para la primera masa rotatoria, al igualar los pares de torsión se obtiene la
ecuación:

El par de torsión aplicado τ=20, a la segunda masa tiene el sentido en que
aumenta θ2, a la segunda masa tiene el sentido en que aumenta θ 2,de manera
que la ecuación de par de torsión que lo incluye es:

Al agrupar términos, las dos ecuaciones diferenciales simultáneas en θ1 y θ2 son:

Diagrama con Integradores (Dominio del Tiempo) para el Sistema Mecánico
Rotacional anterior.

Funciones de Transferencia (Dominio de la Frecuencia) para el Sistema
Mecánico Rotacional anterior.
De las ecuaciones diferenciales del sistemamecánico rotacional anterior, se llevan
al dominio de la frecuencia utilizando la Transformada de Laplace, obteniéndose
las siguientes ecuaciones.
Para el sistema de la Primera Masa
0 = 2*θ1(S) + 3*S2*θ1(S) + 6*S*θ1(S) + 5*θ1(S) - 5*θ2(S)
0 = θ1(S) * ( 3*S2 + 6*S + 7 ) - 5*θ2(S)
θ1(S) / θ2(S) = 5 / ( 3*S2 + 6*S + 7 )

Ec. 1

Para el sistema de la Segunda Masa en donde F(S) = 20,
F(S) =4*S2*θ2(S) + 8*S*θ2(S) + 5*θ2(S) - 5*θ1(S)
F(S) = θ2(S) * ( 4*S2 + 8*S + 5 ) - 5*θ1(S); θ1(S) se sustituye usando Ec. 1.
F(S) = θ2(S) * ( 4*S2 + 8*S + 5 ) – 5 * 5 / ( 3*S2 + 6*S + 7 )
θ2(S) / F(S) = ( 3*S2 + 6*S + 7 ) / (12*S4 + 48*S3 + 91*S2 + 86*S + 10 )

A continuación se presentan los diagramas en bloques

Ec. 2

En Simulink se trabaja con el siguiente diagrama de bloques y se...