Modelos discretos

Modelos Discretos de Distribución de Probabilidades: Teoría y Práctica

“Probabilidad y Estadística”
Código: 0834403T

Fernando A. Contreras

Ingeniería Mecánica y Electrónica
Modelos Discretos de distribución de Probabilidades

Fecha: 15 de Febrero del 2010 0

Fernando A. Contreras

Modelos Discretos de Distribución de Probabilidades: Teoría y Práctica

Fernando A. Contreras“MODELOS DISCRETOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES” Uno de los aspectos de más relevancia que aborda la generalización en estadística, es el de lograr determinar en base a la información aportada por una muestra, la descripción del comportamiento de un fenómeno aleatorio, a través de un modelo de distribución de probabilidades. En la unidad curricular anterior, se había mencionado que p(x) es lafunción que distribuye las probabilidades de la variable aleatoria discreta “X”, es decir, p(x) es la función que asigna un valor numérico entre 0 y 1 a cada número entero del recorrido de la variable aleatoria “X”, en donde la suma de todas las probabilidades asignadas es igual a 1. Las probabilidades asignadas a los enteros del recorrido de la variable aleatoria “X”, están relacionadas con elfenómeno aleatorio que es el que determina a partir de la definición de probabilidad, las probabilidades de cada elemento del espacio muestral “Ω”. En el presente capítulo, se definirá una colección de funciones matemáticas, llámense modelos discretos de distribución de probabilidades, los cuales, al ser asociados a un fenómeno aleatorio de una naturaleza específica, los mismos realizarán ladistribución de las probabilidades de ocurrencia del éste. Los modelos discretos a abordar en este capítulo son: uniforme, bernoulli, binomial, poisson, hipergeométrico, multinomial, binomial negativo y geométrico.

“MODELO UNIFORME” Si la variable aleatoria “X” toma los valores x1, x 2, x 3, … , xn con igual probabilidad, entonces la distribución de probabilidades de “X” se modela a través de la funciónde distribución de probabilidades definida por:

P(X = x) = p(x ; n) =

1 , si x = x 1, x 2, x 3, … , x n n
0 , si x toma otro valor

n: es el número de elementos de Ω

X: Asigna una probabilidad de

1 a todos los puntos del espacio muestral n
n n

La media de este modelo es:  

 xi
i 1

n

y la varianza es:  2 

(x
i 1

i

 )2

n

1

Modelos Discretosde Distribución de Probabilidades: Teoría y Práctica
Gráficamente se tiene:

Fernando A. Contreras

“Ejemplo 1”: Supóngase que se analiza el fenómeno del lanzamiento de un dado. Modele este fenómeno, luego calcule  y 2. Grafique también p(x) y F(x). “Desarrollo” Se sabe que el espacio muestral de este experimento es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n = 6. y que cada elemento tiene la mismaprobabilidad, es decir,

tanto, la función de distribución de probabilidades de “X” está definida por:

1 1  . Por lo n 6

P(x) = P(X = x) = p(x ; 6) =

1 6

, si x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

0 , si x toma otro valor

Esto es: P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = P(X = 6) =

1 6

Además:



x
i 1

6

i

6



1 2  3  4  5  6  3.5 6

2 

 ( x 3.5)
i 1 i

6

2

6



(1  3.5) 2  (2  3.5) 2  (3  3.5) 2  (4  3.5) 2  (5  3.5) 2  (6  3.5) 2  2.92 6

2

Modelos Discretos de Distribución de Probabilidades: Teoría y Práctica
La gráfica de p(x) es:

Fernando A. Contreras

La gráfica de F(x) es:

“MODELO DE BERNOULLI” Se dirá que un fenómeno aleatorio se comporta de manera que puede modelarse a través delmodelo de Bernoulli si en una ocurrencia, éste puede generar solo dos resultados. La función de distribución de probabilidades de este modelo es: px (1 – p)1 – x , si x = 0 , 1 P(X = x) = p(x ; p) = 0 , si x toma otro valor X: Cuenta el # de éxitos en la única ejecución

Ocurrencia de un evento: Éxito
Fenómeno Aleatorio

No Ocurrencia de un evento: Fracaso

3

Modelos Discretos de...