Multiplicadores Lagrange

Matemática II
Tema 15: multiplicadores de Lagrange
2012–2013

Índice
Máximos y mínimos con restricciones
Solución por substitución

1

1

Solución por un método alternativo

2

Método de multiplicadores de Lagrange
Teoremas

4

4

Ejemplos de su aplicación

Trabajo práctico

5

7

Máximos y mínimos con restricciones
Solución por substitución
Comentariospreliminares
A veces es necesario encontrar los valores extremos de funciones
f ( x, y) cuyo dominio esta restringido.
Es decir, que el dominio de f es una región particular del plano
xy, como un disco, un triángulo, un rectángulo, una curva, etc.
Usualmente, para resolver estos problemas, deberemos aplicar el
método de multiplicadores de Lagrange.
Ejemplo 1. Encontrar el punto P( x, y, z) del plano2x + y − 5 = 0 que
esté más cerca del origen.
1. Debemos encontrar el valor mínimo de la función

−
→
OP =
=

( x − 0)2 + ( y − 0)2 + ( z − 0)2
x 2 + y2 + z2

sujeta a la restricción 2x + y − z − 5 = 0.

−
→
2. Como OP tiene un valor mínimo siempre que la función
f ( x, y, z) = x2 + y2 + z2 tiene un mínimo, podemos resolver
el problema minimizando directamente f ( x, y, z)(eliminado así
la raíz cuadrada).

tema 15: multiplicadores de lagrange

2

3. Despejando z de la restricción (o sea, de la ecuación del plano)
encontramos
z = 2x + y − 5
4. El problema se reduce entonces a encontrar los puntos ( x, y)
donde la función
h( x, y) = f ( x, y, 2x + y − 5) = x2 + y2 + (2x + y − 5)2
tiene sus valores mínimos.
5. Como el dominio de h( x, y) es todo el plano xy,sin restricciones,
podemos aplicar el criterio de la primera derivada
h x = 2x + 2 · (2x + y − 5) · 2 = 0

hy = 2y + 2 · (2x + y − 5) · 1 = 0

6. Esto resulta en el sistema de ecuaciones lineales
10x + 4y = 20
4x + 4y = 10
cuya única solución es (5/3, 5/6), y de donde z = 2 · 5/3 + 5/6 − 5 =
−5/6.
7. Entonces el punto que buscamos es P(5/3, 5/6, −5/6).

Solución por un métodoalternativo
Ejemplo 2. Encontrar los puntos del cilindro hiperbólico x2 − z2 = 1
más cercanos al origen.
1. Buscamos puntos que minimicen la función
f ( x, y, z) = x2 + y2 + z2

(cuadrado de la distancia)

sujeta a la restricción x2 − z2 − 1 = 0.
2. Despejando z de la restricción (o sea, de la ecuación del cilindro)
encontramos
z2 = x 2 − 1
3. La función a minimizar será entonces
h( x, y) =x2 + y2 + ( x2 − 1) = 2x2 + y2 − 1
4. El único valor extremo de h se presenta cuando
h x = 4x = 0

hy = 2y = 0

cuya única solución es (0, 0), pero de donde z2 = 02 − 1 no puede
calcularse. . .
5. ¿Qué es lo que hicimos mal? Hemos buscado puntos sobre el
dominio de h, que es todo el plano xy, donde h tenga un valor
extremo, pero en realidad queríamos puntos sobre el cilindro,
donde htenga un valor extremo.

Figura 1: el cilindro hiperbólico
x2 − z2 = 1 tiene dos hojas.

tema 15: multiplicadores de lagrange

3

6. El cilindro no tiene puntos con −1 < x < 1. Para resolver el
problema debemos despejar x, en vez de z, y volver a empezar. . .
7. Despejando x de la restricción (o sea, de la ecuación del cilindro)
encontramos
x 2 = z2 + 1
8. La función a minimizar seráentonces
k( x, y) = (z2 + 1) + y2 + z2 = 1 + y2 + 2z2
9. Los valores extremos estarán donde
k y = 2y = 0

k z = 4z = 0

cuya única solución es y = 0 y z = 0, y de donde resulta
x 2 = 02 + 1

;

x = ±1

y los puntos buscados son P(1,0,0) y Q(-1,0,0).
Ejemplo 3. Encontrar los puntos del cilindro hiperbólico x2 − z2 = 1
más cercanos al origen (con un método alternativo).
1. Podemospensar en una pequeña esfera, con centro en el origen,
que crece como una burbuja de jabón hasta tocar el cilindro. . .
2. En cada punto de contacto el cilindro y la esfera tendrán el mismo plano tangente. . .
3. La esfera y el cilindro se representan como las superficies de nivel
que se obtienen igualando
f ( x, y, z) = x2 + y2 + z2 − a2

y

g( x, y, z) = x2 − z2 − 1

a cero.
4....