PRACTICO 1 VECTORES 2013

Ejercicios Resueltos - PRÁCTICO DE VECTORES
Actividad Nº1
a) 𝒂 = −1,4 ; 𝒃 = (6,2)
2𝒂 + 3𝒃
2 −1,4 + 3 6,2 = −2,8 + 18,6 = (16,14)

𝒂 =

𝑎1 2 + 𝑎2 2 =

(−1)2 + 42 = 17

𝒂−𝒃
−1,4 − 6,2 = −7,2 → 𝒂 − 𝒃 =

𝒂+𝒃
−1,4 + 6,2 = 5,6 → 𝒂 + 𝒃 =

(−7)2 + 22 = 53

52 + 62 = 61

1

b)𝒂 = −1, −4 ; 𝒃 = (3,0)
2𝒂 + 3𝒃
2 −1, −4 + 3 3,0 = −2, −8 + 9,0 = (7, −8)

𝒂 =

𝑎1 2 + 𝑎2 2 =

(−1)2 + (−4)2 = 17

𝒂−𝒃
−1, −4 − 3,0= −4, −4 → 𝒂 − 𝒃 =

𝒂+𝒃
−1, −4 + 3,0 = 2, −4 → 𝒂 + 𝒃 =

(−4)2 + (−4)2 = 32

22 + (−4)2 = 20

2

c)𝒂 = 0,0,1 ; 𝒃 = (2,4,0)
2𝒂 + 3𝒃
2 0,0,1 + 3 2,4,0 = 0,0,2 + 6,12,0 = (6,12,2)

𝒂 =

𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 =

02 + 02 + 12 = 1

𝒂−𝒃
0,0,1 − 2,4,0 = −2, −4,1 → 𝒂 + 𝒃 =
𝒂+𝒃
0,0,1 + 2,4,0 = 2,4,1 → 𝒂 + 𝒃 =
Actividad 2
a)
𝒗 = (3,4)
𝒖=
𝒗 = (1, −1)
𝒖=

b)
𝒖=

𝒗
=
𝒗

𝒗
=
𝒗

𝒗
=
𝒗

22 + 42 + 12 = 21

1
𝑣1 𝟐 +𝑣2 𝟐
1

𝑣1 𝟐 + 𝑣2 𝟐

1
𝑣1 𝟐 + 𝑣2 𝟐 + 𝑣3 𝟐

(−2)2 + (−4)2 + 12 = 21

𝒗 =

3𝟐 + 4𝟐
1

𝒗 =

𝒗 =

1

1𝟐 + −1

𝟐

3 4
3,4 = ( , )
5 5

1, −1 = (1, −1)

1
(−3)𝟐 + 0 + 4𝟐

3 4
18 24
6 − , 0, = (− , 0, )
5 5
5
5

3

3 4
−3,0,4 = (− , 0, )
5 5

c)
𝒖=

𝒗
=
𝒗

1
𝑣1 𝟐 + 𝑣2 𝟐 + 𝑣3 𝟐

. 𝒗 =

1

1 4
. −1,0,4 = (− , 0, )
5 5
(−1)𝟐 + 0 + 4𝟐

1 4
5 − , 0, = (−1,0,4)
5 5

Actividad 3
a)
𝐹1 = 20𝑁; 𝜃1 = 45°
𝐹2 = 16𝑁; 𝜃2= 30°
Componentes de F1 y F2 en x:
𝐹1(𝑥) = 20 cos 45° = 14,14
𝐹2(𝑥) = 16 cos 30° = 13,85
Componentes de F1 y F2 en y:
𝐹1(𝑦) = 20 sen 45° = 14,14
𝐹2(𝑦) = 16 sen 30° = 8
Para hallar la componente en x de la resultante, sumo las componentes en x de F1 y F2:
𝐹1

𝑥

+ 𝐹2

= 14,14 + 13,85 = 27,99𝑁

𝑥

Para hallar la componente en y de la resultante, sumo las componentes en y de F1 y F2:
𝐹1

𝑦

− 𝐹2

𝑦= 14,14 − 8 = 6,14𝑁

Para hallar el ángulo utilizo la función tangente:
θ = tan−1

𝐹𝑦
6,14
= tan−1
= 12,37°
𝐹𝑥
27,99

Actividad 4
b)
𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 )
Su opuesto aditivo es:
−𝒖 = (−𝑢1 , −𝑢2 , … , −𝑢𝑛 )
De manera que:
𝒖 + (−𝒖) = 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 + (−𝑢1 , −𝑢2 , … , −𝑢𝑛 )
𝒖 + (−𝒖) = 𝑢1 − 𝑢1 , 𝑢2 − 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛
𝒖 + −𝒖 = 0,0, … ,0 = 𝟎

4

Actividad 5
a)
𝐀 = (1, −1,2)
cos 𝛼 =

𝒂.𝒊
𝒂.𝒊

=

𝑎1;
𝒂

cos 𝛽 =

𝒂 =
1

cos 𝛼 =

𝒂.𝒋
𝒂.𝒋

𝑎2
;
𝒂

cos 𝛾 =

𝒂.𝒌
𝒂.𝒌

1 + (−1)2 + 22 = 6
; cos 𝛽 = −

6

=

1
6

; cos 𝛾 =

2
6

b)
cos 𝛼 =

𝑎1
1
→ 𝑎1 = 𝒂 cos 𝛼 = 5 . −
𝒂
9
5
𝑎1 =
9

cos 𝛽 =

cos 𝛾 =

c)

𝑎2
4
→ 𝑎2 = 𝒂 cos 𝛽 = 5 .
𝒂
9
20
𝑎2 =
9
𝑎3
8
→ 𝑎3 = 𝒂 cos 𝛾 = 5 .
𝒂
9
40
𝑎3 =
9

cos2 𝛼 + cos 2 𝛽 + cos2 𝛾 = 1
𝑎1
𝒂

2

+

𝑎2
𝒂

2

+

𝑎3
𝒂

2

=

𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2
=1
𝒂𝟐

Actividad 6
Vectoresparalelos; 1, 𝛼, 3 , (2,4,6)
𝑎1 𝑎2 𝑎3 1 𝛼 3
=
=
= = = →𝛼=2
𝑏1 𝑏2 𝑏3 2 4 6
Actividad 6
𝐀 = 4𝐈 − 3𝐉 + 𝐊
𝐁 = 2𝐈 − 5𝐉 + 3𝐊
𝐂 = 𝐈 − 𝐉 + 2𝐊
a)
𝐀. 𝐁 = 4, −3,1 . 2, −5,3 = 8 + 15 + 3 = 26
5

=

𝑎3
𝒂

𝐀. 𝐂 = 4, −3,1 . 1, −1,2 = 4 + 3 + 2 = 9
𝐁. 𝐂 = 2, −5,3 . 1, −1,2 = 2 + 5 + 6 = 13

b)
4, −3,1 .

𝐀. 𝐁 + 𝐂 = 𝐀. 𝐁 + 𝐀. 𝐂
2, −5,3 + 1, −1,2 = 4, −3,1 . 2, −5,3 + 4, −3,1 . 1, −1,2
4, −3,1 . 3, −6,5 = 26 + 9
(12 +18 + 5) = 26 + 9
35 = 35

c)
𝐀 = 42 − 32 + 1 2 = 8
𝐁 = 22 − 52 + 3 2 =
𝐂 = 12 − 12 + 2 2 = 2
Actividad 7
𝐀 = a1 𝐈 + a 2 𝐉 + a 3 𝐊
𝐁 = b1 𝐈 + b2 𝐉 + b3 𝐊
𝐀. 𝐁 = a1 𝐈 b1 𝐈 + a1 𝐈 b2 𝐉 + a1 𝐈 b3 𝐊 + a2 𝐉 b1 𝐈 + a2 𝐉 b2 𝐉 + a2 𝐉 b3 𝐊 + a3 𝐊 b1 𝐈 + a3 𝐊 b2 𝐉+a3 𝐊 b3 𝐊
𝐀. 𝐁 = a1 b1 𝐈. 𝐈 + a1 b2 𝐈. 𝐉 + a1 b3 𝐈. 𝐊 + a2 b1 𝐉. 𝐈 + a2 b2 𝐉. 𝐉 + a2 b3 𝐉. 𝐊 + a3 b1 𝐊. 𝐈
+ a3 b2 𝐊. 𝐉 +a3 b3 (𝐊. 𝐊)
Como 𝐈. 𝐉 = 0,𝐈. 𝐊 = 0 𝐲 𝐉. 𝐊 = 0, entonces resulta:
𝐀. 𝐁 = a1 b1 𝐈. 𝐈 + a2 b2 𝐉. 𝐉 + a3 b3 𝐊. 𝐊
Puesto que el ángulo 𝜃 entre dos versores iguales es de cero grados, entonces tenemos:
𝐈 𝐈 cos 0 = 𝐉 𝐉 cos 0 = 𝐊 𝐊 cos 0 = 1
Entonces;
𝐀. 𝐁 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Actividad 10

2
1
3 ;𝒗 = 0
−1
2
Para que u y v resulten ortogonales, su producto escalar debe ser 0.
Veamos:
𝒖=

𝒖. 𝒗 = 2 × 1 + 3 × 0 − 1 × 2 = 2 + 0 −2 = 0 ,
por lo tanto, como 𝒖. 𝒗 = 0, son ortogonales

6

Actividad 11
a)

3
2
𝒖 = 𝑘 ;𝒗 = 𝑘
5
−𝑘
Para que u y v resulten ortogonales, su producto escalar debe ser 0;
𝒖. 𝒗 = 3 × 2 + 𝑘 × 𝑘 − 5 × 𝑘 = 𝑘 2 − 5𝑘 + 6 = 0
k=

−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 5 ± (−5)2 − 4 × 6 5 ± 1
=
=
2𝑎
2
2

Luego, para que u y v resulten ortogonales, 𝑘1 = 3 ó 𝑘 = 2
b)
𝒖=

−6
𝑏
𝑏 ; 𝒗 = 𝑏2
2
𝑏

Para que u y v resulten ortogonales, su...