Problemas de continuidad de funciones

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Matemática
Pauta Auxiliar 01 - MA1002 Sección 4 Cálculo Diferencial e Integral

Continuidad de FuncionesProfesor de Cátedra: Raúl Uribe Profesores Auxiliares: Ignacio Riquelme C. - Sergio Castillo J. Fecha: 13 de Agosto de 2010
P1.-

Sea f : [a, b] → R una función continua, y sea an una sucesión en[a, b] tal que f (an ) converge a y . Demuestre que existe x ∈ [a, b] tal que f (x) = y .

.

Como an está acotada, entonces existe una subsucesión sn = aγ(n) que converge, donde γ : N → N funcióncreciente (por denición de subsucesión). Sea x el valor al cual converge aγ(n) , donde a ≤ x ≤ b. Dado que f es una función creciente, esto implica que si aγ(n) → x ⇒ f (aγ(n) ) → f (x). Así,llamando y = f (x) se tiene lo pedido
Solución: P2.-

Considere una función f : R→ R continua con un mínimo global único en el punto x y que satisface
x→±∞

lim f (x) = +∞

Si {xn } es una sucesiónque cumple con la propiedad
∀n ∈ N f (xn ) ≤ f (x) +
a)

1 n

Pruebe que si la sucesión {xγ(n) } converge a l ∈ R, entonces l = x.

Primero que todo, dado que f tiene un mínimo global único enx, se tiene que ∀n ∈ N f (xγ(n) ) ≥ f (x). Por otro lado, dado que xγ(n) es 1 subsucesión de xn , entonces f (xγ(n) ) ≤ f (x) + γ(n) . Así
Solución:

f (x) ≤ f (xγ(n) ) ≤ f (x) +

1 γ(n)Haciendo n → ∞ y recordando que f es continua, se tiene que
f (x) ≤ f (l) ≤ f (x)

Por Teorema del Sandwich se tiene así que f (x) = f (l), y como x es mínimo global único, se concluye que l = x 1b)

Pruebe que {xn } tiene alguna subsucesión que converge a x.

Probemos primero que {xn } es una sucesión acotada. Lo primero es notar que, dado que limx→±∞ f (x) = +∞ y que x es mínimo globalúnico, se tiene que
Solución:

∀M > f (x) ∃a, b ∈ R ∀x ∈ [a, b] f (x) ≤ M

Em particular, tomemos M = f (x) + 1. Ahora recordemos que
f (xn ) ≤ f (x) + 1 < f (x) + 1 n

Con lo que se puede...