procesos de poisson

Procesos de Poisson
1. Conceptos previos.
Siméon Denis Poisson (1781-1840), austronauta francés, alumno de Laplace y Lagrange. La
distribución Poisson recién apareció en el tranbajo “Recherchés sur la probabilité des
jugements” trabajo importante publicado en 1837.

1.1. Distribución Poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que representa, a partir deuna frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurran determinado número de
eventos durante un cierto periodo de tiempo.
Definición: Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson de parámetro λ > 0 si toma
valores en el conjunto {0, 1, 2,. . .}, con probabilidad dada por

La función generadora de momentos de esta variable está dada de la siguiente manera, al igual
quelos primeros dos momentos con respecto al origen:

Luego, se tiene que

Otras propiedades:
Si 𝑥𝑖 = ~𝑃𝑜𝑖𝑠 𝜆𝑖

∀ 𝑖 ∈ 1, . . 𝑛

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦~𝑃𝑜𝑖𝑠 𝜆 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑦

𝜆 = 𝜆1 + 𝜆2 + ⋯ + 𝜆𝑛

lim

𝑛→∞

𝑒 −𝜆 𝜆𝑥
𝑛 𝑥
𝑝 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 =
𝑥
𝑥!

Usos de la distribución Poisson
“La probabilidad de obtener “X” éxitos en un intervalo continuo”
La distribución Poisson se empleapara describir varios procesos, entre ellos:
a) Distribución de llamadas teléfonicas que llegan a un conmutador
b) La demanda de servicios en un hospital por parte de los pacientes
c) Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro
d) El número de accidentes en un cruce
e) El número de defectos en una tela por m
f) El número de bacterias por centimetro cuadrado.

1.2.Distribución Exponencial
Definición: Una variable aleatoria T tiene distribución exponencial con parámetro λ, T ∼Exp (λ), si
su función de distribución está dada por

De forma equivalente, la función de densidad de dicha variable está dada por

Los dos primeros momentos la variable aleatoria T son:

Por lo tanto, la varianza será

La distribución exponencial cuenta con una propiedadinteresante, llamada la Propiedad de
Pérdida de Memoria. Esta se enuncia de la siguiente forma:

2.

Procesos de Poisson.

Definición: Sean T1, T2,. . . v.a.i.i.d. con distribución exponencial de parámetro λ. Sea τ0 = 0 yτn =
T1 + · · · + Tn para n ≥ 1. Definimos el proceso de Poisson de parámetro (intensidad) λ por

Las variables Tn representan los intervalos de tiempo entre eventos sucesivos(llegadas de
clientesa una cola, de llamadas a una central telefónica, de pacientes a la emergencia de un
hospital, etc.).τn = T1 + · · · + Tn es el instante en el ocurre el n-ésimo evento y N(s) es el número
de eventos que hanocurrido hasta el instante s.
Lema: N(s) tiene distribución de Poisson de parámetro λs.
Un Proceso de Poisson cumple con ciertas propiedades, las cuales se enuncian acontinuación:} en
el siguiente Teorema:

Teorema: {N(s), s ≥ 0} es un proceso de Poisson si, y sólo si,

3. Algunas aplicaciones históricas o intuitivas del Proceso de Poisson
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El ejemplo clásico de fenómenos muy bien descritos matemáticamente a través de un
proceso Poisson fue el de los fallecimientos a causa de la patada de un caballo en el
ejército de Prusia, segúnlo demostrado por Ladislaus Bortkiewicz en 1898.
Número de accidentes de tránsito (o heridos/fallecidos) en una zona específica.
Goles anotados en un partido de futbol.
Potenciales de acción emitidos por una neurona.
En la teoría de colas, el número de llamadas entrantes en una central telefónica puede
calcularse como un proceso de Poisson.
L. F. Richardson demostró que el estallido de laguerra se presentó como un proceso de
Poisson entre 1820 y 1850.7
El conteo de fotones que llegan a un fotodiodo, en particular en ambientes con baja
luminosidad.

4. Ejemplo práctico con solución

Ejemplo 4.2
Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los
archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número
de...