Propiedades de las desigualdades

Propiedades de las desigualdades
Las siguientes son las propiedades de las desigualdades para los números reales. Están cercanamente relacionadas a las propiedades de igualdad, pero hay diferencias importantes.
Dese cuenta especialmente que cuando multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe invertir la desigualdad.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Propiedadantireflexiva
Para todos los números reales x,

Propiedad de antisimetría
Para todos los números reales x y y,


Propiedad transitiva
Para todos los números reales x, y, y z,
si x < y y y < z, entonces x  si x > y y y > z, entonces x >z.
Propiedad de la suma
Para todos los números reales x, y, y z,
si x < y, entonces x + z < y + z.
Propiedad de la resta
Para todos los números reales x, y, y z,si x < y, entonces x – z < y – z.
Propiedad de la multipicación
Para todos los números reales x, y, y z,
si x < y, entonces

si x > y, entonces

Propiedad de la división
Para todos los números reales x, y, y z, con z ≠ 0,
si x < y, entonces

si x > y, entonces


Desigualdades


Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠ no esigual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que


De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dosnúmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20



Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.

Por ejemplo:

x + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ejemplos: 3 < 4, 4 > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender laspropiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo

2 + x > 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados)
2 + x − 2 > 16 − 2
x > 14

2. Unadesigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c < b • c
a > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c > b • c

Ejemplo

3 ≤ 5 • x / :5
3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/53. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
a • c > b • c
a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
a • c < b • c

Ejemplo

15 – 3 • x ≥ 39 / −15
− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3x ≤ 24: (−3)
x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.
INECUACIONES
     Una inecuación es una desigualdad en lasque hay una o más cantidades
desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o
incógnitas.

Ejemplo.
La desigualdad: 3x-2 > 2x+4, es una inecuación; pues sólo se cumple para valores mayores de 6;
que asuma su incógnita x.

Definicion¶ . Si A y B son dos conjuntos, una función f : A → B es una regla que asocia a cada elemento de A un elemento de B. A se...

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