PSU Matematicas Capitulo 5 Ecuaciones Algebraicas

Cap´ıtulo 5

Ecuaciones Algebraicas
uchos de los problemas que nos acontecen en la vida diaria, basan su soluci´
on en el
conocimiento de distintos factores que lo involucran, como por ejemplo, es necesario conocer
la distancia y el tiempo del que dispongo para llegar a alg´
un lugar para determinar la velocidad
a la que necesitar´e ir. Por lo tanto se hace muy importante buscar formas de obtenervalores que
nos son desconocidos, y sin duda, la forma m´
as exacta de encontralas es lograr interpretarlos
matem´
aticamente en algo que denominamos ecuaci´
on.
En el cap´ıtulo anterior aprendiste a interpretar el lenguaje hablado como lenguaje matem´
atico,
en ´este cap´ıtulo aprender´
as como aprovechar ese conocimiento para formar ecuaciones y poder
resolverlas.

M

Versi´
on 1.0, Enero de2008

5.1.

Conceptos B´
asicos

Ecuaci´
on : Las ecuaciones son expresiones algebraicas formadas por dos miembros separados
de una igualdad (=). Uno o ambos de ´estas partes debe tener a lo menos una variable
conocida como inc´
ognita.
Las ecuaciones se satisfacen s´
olo para determinados valores de la o las inc´
ognitas, los cuales
son conocidos como soluciones o raices de la ecuaci´
on.
Ecuaci´on Algebraica : Es aquella ecuaci´
on en que ambos miembros son polinomios.
Identidad : Las identidades son expresiones similares a las ecuaciones, pero la igualdad entre
los miembros que la componen es v´
alida para cualquier valor de la inc´
ognita, por ejemplo
x2 = x · x se cumple para cualquier valor de x, por lo tanto ´esta ser´ıa una identidad. A
diferencia x + 1 = 2 es v´
alida s´
olo si x =1, por lo tanto ´esta ser´ıa una ecuaci´
on.
Soluci´
on o Ra´ız : Es el valor real para el que una ecuaci´
on tiene sentido, es decir, es el valor
que necesita ser la inc´
ognita para que la ecuaci´
on se transforme en una identidad.

5.2.

Ecuaci´
on de primer grado

Las ecuaciones de primer grado son aquellas en las cuales la o las variables presentes est´
an
elevadas a 1 (por esta raz´
on sellaman de primer grado), veamos como podemos resolver ´estas
ecuaciones.
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5. Ecuaciones Algebraicas

5.2.1.

Resoluci´
on de ecuaciones de primer grado

Empecemos viendo algunas reglas que nos servir´
an para la resoluci´
on de ecuaciones:
1ero A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla, siempre que se
haga sobre ambos lados de dicha igualdad. Por ejemplo; todossabemos que 2 = 1 + 1,
si agregamos una unidad a cada lado de la igualdad obtenemos 2 + 1 = 1 + 1 + 1 lo que
implica que 3 = 1 + 1 + 1 que tambi´en resulta ser verdadero.
2do Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por cualquier n´
umero
real distinto de 0 manteniendose la igualdad inalterable.
3ero Toda ecuaci´
on de primer grado con una variable se puede escribir de laforma ax + b = 0,
y es de los valores de a y b de los cuales depende la cantidad de soluciones que vamos a
tener.
Si a = 0, entonces existe una u
´nica soluci´
on.
Si a = 0 y b = 0, existen infinitas soluciones.
Si a = 0 y b = 0, no existen soluciones.
Ahora, veamos el m´etodo b´
asico de resoluci´
on con un ejemplo.
Ejemplo :
5x + 7

=

21 − 9x

→

5x + 7 + 9x

=

21 − 9x + 9x

→

5x + 9x + 7
14x + 7− 7
14x + 0

=
=
=

21 + 0
21 − 7
14

→

14x ÷ 14
x · 14 ÷ 14
x·1
x

=
=
=
=

14 ÷ 14
1
1
1

→
→
→

Ocupando la primera regla podemos sumar a
ambos lados el n´
umero 9x.
Como −9x es el inverso aditivo de 9x implica
que 9x − 9x = 0.
Ahora podemos sumar −7 a ambos lados.
Luego ocupando la segunda regla podemos dividir a ambos lados por 14 obteniendo.
Al lado izquierdo podemos conmutar.
Obteniendofinalmente.

Como puedes ver la idea de ´este m´etodo es juntar todos los t´erminos algebraicos que tengan
la inc´
ognita a un solo lado de la igualdad para luego “despejarlo” sumando los inversos aditivos
de los otros t´erminos, una vez que queda el t´ermino con la inc´
ognita solo a un lado de la
ecuaci´
on multiplicamos por el inverso multiplicativo de su factor numeral. De ´esta forma...