Regla De La Cadena

5.

Composici´
on de funciones de varias variables y reglas de la cadena

En An´
alisis I se consider´
o la composici´
on de una funci´
on de 1 variable con otra funci´
on tambi´en de
1 variable: la composici´
on de x(u) con f (x) es la funci´
on F (u) = (f ◦ x)(u) = f (x(u)), que depende de la
variable u 1 . Al momento de derivar una funci´
on compuesta (siempre que las funciones que secomponen
sean derivables), podemos utilizar la regla de la cadena:
dF
df dx
=
du
dx du
o, escrito de otra forma:
F (u) = f (x(u)) x (u)
En el contexto de las funciones de varias variables, tambi´en podemos hacer composiciones pero ahora las
opciones son diversas. Veamos diferentes formas de composici´
on entre funciones de varias variables, y las
reglas de derivaci´
on correspondientes en cada caso.5.1.

Composici´
on de funciones de varias variables

Consideremos la siguiente situaci´
on: en cierta regi´on plana, se conoce la temperatura en funci´
on de la
posici´on, T (x, y). Si una persona camina por esa regi´on siguiendo una curva tal que sus coordenadas son
x(t) e y(t), ¿qu´e temperatura medir´
a en funci´on del tiempo? Lo que debe calcular es T (x, y) para x = x(t)
e y = y(t), esto es lafunci´
on compuesta: T (t) = T (x(t), y(t)), que resulta finalmente una funci´on de una
sola variable independiente (t, en este caso). A esta situaci´on la llamaremos “caso 2 × 1” (se combina una
funci´on de 2 variables con otras de 1 variable), y la podemos simbolizar mediante el siguiente diagrama (que
nos ayudar´a a identificar cu´
ales son las variables independientes finalmente):
x
T (t) = T(x(t), y(t)) :

T

t
y

donde cada l´ınea se lee de izquierda a derecha como “depende de”.
Consideremos ahora el resultado de evaluar una funci´on de 3 variables f (x, y, z) donde cada variable depende a su vez de otra: x = x(u), y = y(u) y z = z(u). Lo llamaremos “caso 3 × 1”, y lo simbolizamos
diagram´aticamente como
x
F(u) = f (x(u), y(u), z(u)) :
f − y − u
z
Vemos que la funci´
on compuestadepende finalmente de 1 variable independiente, y tiene como dominio
natural todos los valores de u permitidos por la composici´on (salvo que se diga otra cosa, consideraremos
los dominios naturales de cada funci´
on).
Siguiendo la misma idea, genere un diagrama para el “caso n × 1” para alg´
un n > 3.
1

La composici´
on est´
a bien definida para los valores de u en el dominio de x, tales que x(u)est´
a en el dominio de f . Ejemplo:
√
√
para f (x) = x, x ≥ 0, y x(u) = u − 3, u ∈ R, la composici´
on F (u) = f (x(u)) = u − 3 tiene dominio u − 3 ≥ 0, o sea u ≥ 3.

3-28

Pasemos a otra clase de situaci´
on: el resultado de evaluar una funci´on f (x) de 1 variable que depende a su
vez de otras 2, x = x(u, v). Lo llamaremos “caso 1 × 2”, y lo simbolizamos como
u
F(u, v) = f (x(u, v)) :

f −x
vUn ejemplo de esta situaci´
on lo encontramos en la conversi´on a grados Fahrenheit de la temperatura dada
en grados Celsius para una placa bidimensional: TF (TC ) = 32 + 95 TC , con TC = TC (x, y).
Con la misma idea, ¿c´
omo ser´
a el “caso 1 × m” para alg´
un m > 2? Arme el diagrama, e identifique la o las
variables independientes de la funci´
on compuesta.
El “caso n×m” ser´
a el resultado deevaluar una funci´on f (x1 , x2 , . . . , xn ) donde cada xi = xi (u1 , u2 , . . . , um );
la funci´on compuesta depende de m variables independientes.
Hay otras combinaciones posibles, por supuesto: por ejemplo f (x, y, z) donde x = x(u, v, t), y = y(v, w), y
z = z(u, v, w) termina dando una funci´
on compuesta F(u, v, w, t) de 4 variables independientes. Arme el
diagrama para este caso.
¿Por qu´einsistimos en cu´
ales son las variables independientes de la funci´
on compuesta? Entre otras cosas,
porque vamos a calcular la variaci´
on de la funci´on compuesta, esto es, derivarla “respecto de sus variables”.

5.2.

Reglas de la cadena para derivar funciones compuestas de varias variables

Supondremos que todas las funciones involucradas a continuaci´on son diferenciables. Daremos las...