Series, Calculo

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

DEFINICION 5.2.1:
Sea una transformación lineal. El núcleo (también conocido por kernel) de , denotado como ker , es el conjunto de todos losvectores en que son mapeados por al 0 en . Es decir,
en
La imagen (o recorrido) de , denota como , es el conjunto de todos los vectores en que son imágenes de los vectores en bajo . Es deciren
en para algún en .

EJEMPLO
Sea una matriz de y sea la correspondencia de transformación matricial de a definida por .Entonces, laimagen de es el espacio de la columna de .
El núcleo de es:
en
= en
=

Lo que significa que el núcleode una transformación matricial es precisamente espacio nulo de la matriz correspondiente.
Proposición 5.2.2: Toda transformación lineal transforma subespacios vectoriales de en subespaciosvectoriales de . Mas aun, si es un subespacio de , entonces la imagen inversa es un subespacio de .
EJEMPLO:
El núcleo de la transformación lineal en el subespacio de definido por:,
y la imagen de es el subespacio de definido por:

Proposición 5.2.3: Sea una transformación lineal. Entonces:
a) es inyectiva si y sólo si
b) es suprayectiva si y sólo siTeorema 5.2.4: Sea una transformación lineal. Entonces se cumple que:

Mas aún, si es de dimensión finita, entonces:

A continuación se dan los nombres para las dimensiones de núcleo eimagen de una transformación lineal.
Definición 5.2.4 rango y nulidad de una transformación lineal:
Si es una transformación lineal, entonces la dimensión del núcleo de se denomina nulidad de y ladimensión del contradominio de se denomina rango de .

Teorema 5.2.5 Suma de rango y la nulidad.
Una transformación lineal de un espacio vectorial n-dimensional en un espacio vectorial . Entonces, la...