Series de taylor

Páginas: 6 (1320 palabras) Publicado: 23 de noviembre de 2010
Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto

La serie de Taylor de una función real f  x  infinitamente diferenciable, definida en un intervalo abierto  a  r , a  r , es la serie de potencias


n0



f

 n

a

n!

 x  a

n

df f  x  fa  dx 1 d3 f  3 3! dx


1d f  x  a  2 2! dx xa
3

2

 x  a
xa

2


n

1 dn f  x  a   ...  n n! dx xa
n

 x  a
xa

 ...

1d f f  x   n! dx n n 1

 x  a
xa

n

sin : R  R 1 d f f  x   n n 1 n ! dx
 n

y  f  x   sin  x 

 x  a
xa

n

d sin  x  sin  x   sin  0   x dx x  0 sin  0   0 sin x  x y d sin x cos x x  0  1 dx x  0

sin  x 

x

sin  x 

x

sin  x 

x

x 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.000

sin(x) 0.479 0.389 0.296 0.199 0.100 0.000

x 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.000

sin : R  R 1 d f f  x   n n 1 n ! dx
 n

y  f  x   sin x

 x  a
xa

n

d sin x x d sin x sin x  sin 0  x  2 dx x  0 2 dx x  0

2

2

sin : R  Ry  f  x   sin x
2 2

d sin x x d sin x sin x  sin 0  x  dx x  0 2 dx 2 x  0 d sin x  cos x dx  d sin x  cos0 dx x  0 d 2 sin x   sin 0 2 dx x  0

d 2 sin x   sin x  2 dx

x2 sin x  sin 0  x cos 0  sin 0  0  x  0  x 2

sin : R  R 1 dn f f  x   n! dx n n 1


y  f  x   sin  x 

 x  a
xa

n

d sin  x  x d sin  x  1 3 d sin  x  sin x   sin  0   x   x 2 dx x  0 2 dx 6 dx3 x  0 x 0
2 2 3

sin : R  R

y  f  x   sin  x 

2 d sin  x  d 2 sin  x  d 3 sin  x  x 1 3 sin  x   sin  0   x   x 2 dx x  0 2 dx 6 dx3 x  0 x 0

d 3 sin  x  d 3 sin  x    cos  x     cos  0  3 3 dx dx x 0 x2 1 3 x3 sin  x   sin  0   x cos  0   sin  0   x cos  0   x  2 6 6

sin  x x x 6

3

sin  x 

x x 6

3

sin  x 
x 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.000 sin(x) 0.479 0.389 0.296 0.199 0.100 0.000

x3 x 6
x-x^3/6 0.479 0.389 0.296 0.199 0.100 0.000

sin x  0 cos x  1  sin x  0  cos x  1 sin x  0 cos x  1 x x x x sin x  0  x  0   0   0   0   ... 3! 5! 7! 9!
3 5 7 9

x3 x5 x 7 x9 sin x  x     3! 5! 7! 9!

1 1 3 2 5 3 1  x  x  x  O x4 2 8 16 1 x x  0.5, 1  1, 1  0.25  1.25, 1  0.25  0.09375  1.34375, 1  1.414213562 1 x

 

1  0.25  0.09375  0.030518  1.37427

ln : R  R



y  ln  x 

Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo alrededor del 1.

ln : R   R alrededor del 1. ln 1  0 d ln  x  1  dx x 1 x

y  ln  x 

Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo1
x 1

d 2 ln  x  1  2 2 dx x x 1 d 3 ln  x  2  3 3 dx x x 1

 1
x 1

2
x 1

d n ln  x  n 1  n  1! n 1   1   1  n  1! n n dx x x 1 x 1

ln : R   R
2

y  ln  x 

ln  x    x  1

 x  1   x  1   x  1 
3

4

2

3

4

 ...   1

n 1

 x  1
n

n

 ...

ln : R   R ln  x    x  1

y ln  x 

ln : R  R



y  ln  x 

ln  x    x  1

 x  1 
2

2

ln : R   R
2

y  ln  x 

ln  x    x  1

 x  1   x  1 
2 3

3

ln : R   R
2

y  ln  x 

ln  x    x  1

 x  1   x  1   x  1 
3

4

2

3

4

ln : R   R ln  x    x  1 

y  ln  x 

 x  1
2

2



 x  1
33



 x  1
4

4

x 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500

ln(x) -0.693 -0.511 -0.357 -0.223 -0.105 0.000 0.095 0.182 0.262 0.336 0.405

x-1 -0.500 -0.400 -0.300 -0.200 -0.100 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500

x-1-(x1)^2/2 -0.625 -0.480 -0.345 -0.220 -0.105 0.000 0.095 0.180 0.255 0.320 0.375

x-1-(x-1)^2/2+(x1)^3/3 -0.667 -0.501 -0.354...
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