Sistemas De Ecuaciones No Lineales

Materia: Métodos Numéricos
Profesor: M.E. Gabriel Mancera Huante
Tema: Sistemas de Ecuaciones no lineales, Iteración y convergencia, aplicaciones, Método Broyden
Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales
Semestre y Grupo: 4”B”
Integrantes del Equipo: Cazares Sánchez Brian, Serafín Calderón Ricardo, Soto Silva Rodrigo
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

METODO DE NEWTON-RAPHSONEs un método iterativo que nos permite aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x)=0. Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma concurrente mediante la fórmula:
xj+1 = xj −f(xj)/f´(xj).

Por ejemplo consideremos la ecuación:

ex = 1/x

En este caso es imposible despejar la incógnita, no obstante si representamoslas curvas y = ex, y = 1/x en el intervalo x ∈ [0, 4], es evidente que la ecuación tiene la solución en este intervalo.

x=0.5538 y=1.7093

Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1,y1) como aproximación del punto de intersección que las funciones u(x,y) y v(x,y) que hacen que estos se anulen.

Ejemplo:

X2+xy-10=0 y+3y2-57=0

Iteración xi u vidu/dx du/dy du/dy Jacobiano iteración ex(%) ex ^x(%)
1 1.5 3.5 -2.5 1.62 6.5 32.5 156.125 1 25 0
2 2.03 2.84 -0.64 -4.75 6.91 32.5 156.125 2 1.8 26.33
3 1.98 3.00 -0.000.04 6.9496 37.00 204.96 3 0.06 1.87
4 1.99 2.99 -1.28 -2.21 6.99 36.99 204.9999 4 0 0.06

Continuación:
Ey% ey ^(%)
16.67
5.2 0 x=2
0.08 23.07 y=3
0 0.28

X2+xy=10 y+3xy2=57
Método deBisección

Comienza con un intervalo [x1, x2] donde se sabe que existe una raíz de la ecuación y por lo tanto debe cumplir que f(x1) f(x2) <=0. En este intervalo se divide a la mitad calculando x nueva=x1+x2/2
Si f(x) por f(x nueva) <0, se sabe que una raíz se encuentra en el intervalo (x1,x2, nueva) y se puede continuar sustituyendo x1 por x nueva. El método de Bisección para laresolución de la ecuación f(x)=0, se basa en el teorema de Bolzano que nos asegura la existencia de almenos una raíz de una función f(x) en in cierto intervalo [a, b] bajo ciertas condiciones.

Resolver mediante el Método de Bisección:

e^x-x=0 en [0,1]

n ant bn(-) mn sgn f(mn)
0 0 1 0.5 +
10.5 1 0.75 -
2 0.5 0.75 0.625 -
3 0.5 0.625 0.5625 +


f(x2)
f(xm)
x1 x2 xm

Método de Punto FijoConsidera la Intersección de 2 funciones no lineales u(x, y) y v(x, y)

X2+xy=10 y+3xy2=57

Iteración xi yi e(%) e*(%) e(%)
1 1.5 3.5 25.00 0 16.67
2 2.1794 2.86 8.97 31.18 4.65
3 1.9505 3.0495 2.97 12.31 1.65
4 2.02 2.9834 1.02 3.96 0.55
5 1.9930 3.0057 0.35 1.38 0.19
6 2.0023 2.9980 0.12 0.47 0.06

X=(57-y)/3y2 Y=(10-y2/x)

Iteración xi yi e% e^e(%) e%
1 1.5 3.5 25.00 0 16.67
2 1.4557 5.166 27.21 3.04 72.22
3 0.6472 5.4133 67.74 124.92 80.45

X=(10-x2) y=57-3xy2

Iteración xi yi e% e ^e% e%
1 1.5 3.5 25.00 0 16.67
2 2.2142 -24.375 10.71 32.26 912.50
3 -0.2091 429.713 110.46 1158.93 14223.79

X+xy=10 y+3xy2=57
Aplicaciones:

Puede utilizarse para resolver muchos tipos...