Sucesiones y series infinitas

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SUCESIONES Y
SERIES INFINITAS
y

T¡
T∞

x

y=sen x
T£

T¶

Las sumas parciales Tn de una serie de Taylor dan aproximaciones cada vez
mejores a una función cuando n aumenta.

Las sucesiones infinitas y las series se trataron brevemente en la Presentación preliminar
del cálculo en relación con las paradojas de Zenón y la representación decimal de los números. La importancia en el cálculo radicaen la idea de Newton de representar las funciones como sumas de series infinitas. Por ejemplo, al determinar áreas, con frecuencia
integraba una función, pero primero la expresaba como una serie y luego integraba cada uno
de los términos de la serie. Esta idea se trata en la sección 11.10 con objeto de integrar fun2
ciones como eϪx . (Recuerde que esto aún no ha sido hecho). Muchas de lasfunciones que
surgen en la física matemática y en la química matemática, como las funciones de Bessel,
se definen como sumas de series, de modo que es importante conocer los conceptos básicos
de convergencia de sucesiones y series infinitas.
Los físicos también utilizan las series en otro aspecto, como se explica en la sección 11.12. Al estudiar campos tan diversos como la óptica, la relatividad especialy el
electromagnetismo, analizan fenómenos reemplazando una función con los primeros
términos en la serie que la representa.

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11.1 SUCESIONES
Se puede considerar que una sucesión es una lista de números escritos en un orden definido:
a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . .
El número a1 recibe el nombre de primer término, a2 es el segundo término y, en general,
an es el n-ésimo término. Aquí setrata exclusivamente con sucesiones infinitas, por lo que
cada término an tiene un sucesor anϩ1.
Observe que para todo entero positivo n hay un número correspondiente an, por lo que
una sucesión se puede definir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros
positivos. Por lo regular, se escribe an en lugar de la notación de función f(n) para el valor
de la función en el número n.
NOTACIÓNLa sucesión {a1, a2, a3, . . .} también se denota mediante
͕an͖

o

ϱ

͕a n ͖ n෇1

EJEMPLO 1 Algunas sucesiones se pueden definir dando una fórmula para el término
n-ésimo. En los ejemplos siguientes se ofrecen tres descripciones de la sucesión: Una
en la que se aplica la notación anterior, en otra se aplica una fórmula definida y en la
tercera se escriben los términos de la sucesión. Observe quela n no tiene que empezar
en 1.

(a)

(b)

ͭ ͮ
ͭ
ͮ
n
nϩ1

ϱ

͑Ϫ1͒n͑n ϩ 1͒
3n
ϱ

ͭ ͮ
cos

n␲
6

n
nϩ1

an ෇

͑Ϫ1͒n͑n ϩ 1͒
3n

n෇1

(c) {sn Ϫ 3 }n෇3

(d)

an ෇

a n ෇ sn Ϫ 3, n ജ 3

ϱ

a n ෇ cos

n෇0

V EJEMPLO 2

n␲
, nജ0
6

ͭ
ͭ

ͮ

n
1 2 3 4
, , , ,...,
,...
2 3 4 5
nϩ1

ͮ

2 3
4 5
͑Ϫ1͒n͑n ϩ 1͒
Ϫ , ,Ϫ ,
,...,
,...
3 9
27 81
3n

{0, 1, s2, s3, . . . , sn Ϫ 3, . . .}

ͭ

1,

ͮ

n␲
s3 1
, , 0, . . ., cos
,...
2 2
6

Encuentre una fórmula para el término general an de la sucesión

ͭ

ͮ

3
4
5
6
7
,Ϫ ,
,Ϫ
,
,...
5
25 125
625 3125

y suponga que el patrón de los primeros términos continúa.
SOLUCIÓN Se sabe que

a1 ෇

3
5

a2 ෇ Ϫ

4
25

a3 ෇

5
125

a4 ෇ Ϫ

6
625

a5 ෇

7
3125

Observe que los numeradores de estas fracciones empiezan con 3 y se incrementan una
unidad al pasar al siguientetérmino. El segundo término tiene numerador 4, el siguiente
numerador es 5; en general, el n-ésimo término tendrá como numerador n ϩ 2. Los
denominadores son las potencias de 5, de modo que an tiene por denominador 5n. El
signo de los términos es alternadamente positivo y negativo, por lo que es necesario
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||||

676

CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

multiplicar por una potencia de ͑Ϫ1͒. Enel ejemplo 1(b) el factor ͑Ϫ1͒n significa que
empieza con un término negativo. Como aquí se busca iniciar con un término positivo,
se usa ͑Ϫ1͒nϪ1, o bien, ͑Ϫ1͒nϩ1. Por lo tanto,
a n ෇ ͑Ϫ1͒ nϪ1

nϩ2
5n

EJEMPLO 3 En este caso hay algunas sucesiones que no tienen una ecuación que las defina en forma simple.
(a) La sucesión ͕pn͖, donde pn es la población mundial el uno de enero del año n.
(b) Si...