Sucesiones y Series

Cálculo Integral
Guía teórica – Sucesiones y Series

Escuela de Ingeniería
Centro de Ciencia Básica

Sucesiones:
Definiciones:
Una sucesión o secuencia es una función de dominio natural y rango un subconjunto de los números
reales:

f : 
n  f n 
Si el enésimo elemento de una sucesión es f(n), entonces podemos decir que la sucesión está definida por
(n, f(n)).
Se

acostumbra

representar

alas

sucesiones

por

la

expresión

del

enésimo

término

así:

an 1  an   a1 , a2 ,..., an 
Algunas sucesiones son definidas mediante condiciones iniciales, como por ejemplo la sucesión de
Fibonacci: a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2,…, an = an-1 + an-2, con n ≥ 3, es decir: {1, 1, 2, 3, 5,…}. Y en términos









 1  5  n  1  5  n 

 
 
 2 
 2  
generales: a n 5
Una sucesión se puede representar gráficamente como puntos en una recta real o como puntos en un

 n  1 2 3 
   , , ,...
 n  1  2 3 4 

plano, como por ejemplo: 

an
1,0
0,9
0,8
0,7

n
0

½

⅔

0,6
0,5

¾

1

0,4
0,3
0,2
0,1

n

0,0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30

En ambos casos se observa que si n → , an →1
Si el dominio no se restringe, la sucesión es infinita. Si {an} es una sucesión infinita, Lim a n  L   y se
n 

dice que la sucesión es convergente; en caso contrario la sucesión diverge.
Una sucesión a1 , a2 ,..., an  es igual a una sucesión b1 , b2 ,..., bn  sii ai = bi i  N .

Cálculo Integral
Guía teórica – Sucesiones y Series

Escuela de Ingeniería
Centro de Ciencia BásicaTeorema:
Cuando Lim f x   L con f definida x  Domf , entonces Lim f n   L n  N  Domf
x 

n

De este teorema adoptamos los teoremas básicos vistos para los límites.
Teorema de la estricción (emparedado):
Si {an}, {bn}, {cn} son sucesiones infinitas y se cumple que an ≤ bn ≤ cn n  N y si Lim an  Lim cn  L ,
n

n

entonces Lim bn  L
n

Sucesiones alternantes:
Una sucesión sedenomina alternante si posee un factor de la forma: (-1)n, (-1)n+1, (-1)n-1, (-1)n(n+1)/2, etc. Por
ejemplo:

 1

n 1



an  a1 ,a2 , a3 ,a4 ,...

Teorema:
Si {an} es una sucesión y si Lim a n  0 , entonces Lim a n  0
n 

n

Sucesiones monótonas:
Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente, es decir, si cumple que:
an ≤ an+1, la sucesión es creciente.
an ≥ an+1, lasucesión es decreciente.
Se debe tener en cuenta que en una sucesión el comportamiento de los primeros términos no representa el
comportamiento de la misma.
Acotación:
El número m recibe el nombre de cota inferior de la sucesión {an} sii m ≤ an n  N
El número M recibe el nombre de cota superior de la sucesión {an} sii M ≥ an n  N
Se denomina superior o supremo (Sup) a la menor cota superior deuna sucesión e inferior o ínfimo (Inf) a
la mayor de las cotas inferiores.
Teorema:
Si una sucesión es monótona y acotada, es convergente

Cálculo Integral
Guía teórica – Sucesiones y Series

Escuela de Ingeniería
Centro de Ciencia Básica

Series Infinitas:
Definición:
Sea {an} una sucesión infinita. La expresión a1 + a2 +… + an, se denomina serie infinita o serie y se denota
por:


S n   an
n 1

S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a1
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3
…
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = Sn-1 + an
Una serie es entonces, una sucesión de sumas parciales.
Definición de convergencia:


La serie infinita

a
n 1

n

converge si su sucesión de sumas parciales converge, es decir, Lim S n  S , para S
n

 , donde S es la suma de la serie infinita.
La serie infinita diverge si {Sn}diverge, en otras palabras, si el límite no existe entonces la serie diverge.
Existen dos formas para determinar la convergencia de una serie:
1. Encontrar Sn y luego evaluar el límite
2. Emplear los criterios de convergencia y unas series especiales:
Criterios de convergencia:


1. Si la serie infinita

a
n 1

converge, entonces Lim a n  0 , el recíproco es falso. Pero si Lim a n  0 ,

n...