Teo Green

Cap´ıtulo 11

El teorema de Green
El teorema de Green relaciona la integral de l´ınea de un campo vectorial
sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra
la curva. Este tipo de teoremas resulta muy u
´til porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo,
podemos elegir la posibilidad m´as simple entre integrar el campodirectamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales
cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relaci´on
as´ı establecida entre la integral de l´ınea sobre una curva y la integral doble
sobre la regi´on interior a ´esta permite a veces obtener informaci´on sobre
una funci´on o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la
funci´onsobre la frontera de dicho recinto. Los ejemplos y ejercicios de este
cap´ıtulo ilustrar´an las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de
resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en R3 en los
siguientes cap´ıtulos.
Antes de enunciar el teorema de Green convendr´ıa precisar qu´e entendemos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya
que todacurva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´estas son invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables
tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿c´omo distinguir entre una y otra orientaci´on? ¿Qu´e hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios
procedimientos para conseguir esto. Quiz´a el m´as intuitivo sea el siguiente,
que presenta el concepto denormal unitaria exterior a una curva.
Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en R2 , parametrizada
por γ(t) = (x(t), y(t)), el vector normal unitario exterior a C se define por
N (t) =

1
x

(t)2

+ y (t)2
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y (t), −x (t) .

CAP´ITULO 11. EL TEOREMA DE GREEN

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N´otese que N es ortogonal al vector tangente o velocidad de la curva, V (t) =
(x (t), y (t)). Consideremos estos vectoressumergidos en R3 (con coordenada
z = 0). Diremos que C est´a orientada positivamente si el producto vectorial
N × V (que tiene la direcci´on del eje z en este caso) tiene coordenada z
positiva (es decir, N × V apunta hacia arriba) para cada t. Esta definici´on
corresponde intuitivamente a decir que C se recorre en el sentido contrario al
de las agujas del reloj, o bien que si recorremos C con laorientaci´on positiva
entonces N apunta hacia afuera de la regi´on interior a C, y que dicha regi´on
interior queda siempre a mano izquierda seg´
un se va recorriendo C.
Otra posibilidad para definir la orientaci´on de una curva cerrada simple
ser´ıa utilizar el n´
umero de giros (the winding number); ver el problema 11.17.
Diremos que una curva cerrada simple C ⊂ R2 es regular a trozos si se
puedeparametrizar mediante un camino γ que a su vez puede escribirse como
concatenaci´on γ1 ∗ ... ∗ γk de una cantidad finita de caminos γj : [aj , bj ] → R2
cada uno de los cuales es de clase C 1 y satisface que γj (t) = 0 para todo
t ∈ [aj , bj ] (en particular, γ podr´a dejar de ser diferenciable en una cantidad
finita de puntos, pero incluso en estos tendr´a derivadas laterales). Para esta
clasede curvas cerradas simples enunciaremos y demostraremos el teorema
de Green.
Teorema 11.1 (de Green) Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R2 , y sea D la uni´
on de la regi´
on
2
interior a C con la propia curva C. Sea F = (P, Q) : D −→ R un campo
vectorial de clase C 1 . Entonces se tiene que
P dx + Qdy =
C

D

∂Q ∂P
−
dxdy.
∂x
∂y

Antes de dar unademostraci´on de este importante teorema, veamos algunos ejemplos y aplicaciones del mismo.
Ejemplo 11.2 Integrar el campo F (x, y) = (x, xy) sobre la circunferencia
x2 + y 2 = 1 recorrida en sentido positivo.
Ejemplo 11.3 Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x, y) =
(y + 3x, 2y − x) al mover una part´ıcula a lo largo de la elipse 4x2 + y 2 = 4.
Ejemplo 11.4 Hallar el valor...