Teorema De Cauchy

Teorema de Cauchy

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c  (a, b) tal que:

Elvalor del primer miembro es constante:

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c,f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces lapendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema delvalor medio generalizado.
Ejemplos:
Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:
f(x) =x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5.
En caso afirmativo, aplicarlo.
Las funciones f(x) y g(x) son continuas en [1, 4] yderivables en (1, 4) por ser polinómicas, además se cumple que g(1) ≠ g(4).

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:Analizar si el el teorema de Cauchy es aplicable a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].
Las funcionesf(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.
Y en particular son continuas en el intervalo [0,π/2] y derivables en (0, π/2).
g(π/2) ≠ g(0)
Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:

g' (c) ≠ 0 −sen(π/4 ) ≠ 0.