teorema de cauchy

1

Problemas T. Cauchy

Exercise 1.1 Comprueba que las funciones f (x) = x3 + 1 y g(x) = x2 + 3
verifican las hipótesis y la tesis del Teorema de Cauchy en el intervalo [0, 2]
Ambas funciones son continuas y derivables en < al ser polinómicas. Así
pues, son continuas en [0, 2] y derivables en ]0, 2[, siendo sus derivadas respectivamente f 0 (x) = 3x2 y g 0 (x) = 2x
Ninguna de sus derivadas seanulan a la vez en ]0, 2[ y además g(0) = 3
no coincide con g(2) = 7
Por todo esto; ambas funciones verifican las hipótesis del teorema de
Cauchy en [0, 2] y consecuentemente podemos afirmar que:
∃c ∈ ]0, 2[ /
m
∃c ∈ ]0, 2[ /
Dicho valor es → c =

f (2) − f (0)
f 0 (c)
= 0
g(2) − g(0)
g (c)
8
3c2
3c
=
=
4
2c
2

4
3

8

6

4

2

00

0.5

1

x

1.5

2

2.5

1
1 + x2
verifican las hipótesis y laconclusión del Teorema de Cauchy en el intervalo
[0, 2]
Exercise 1.2 Comprueba que las funciones f (x) = x2 + 1 y g(x) =

1

Ambas funciones son continuas y derivables en <; en particular son continuas en [0, 2] y derivables en ]0, 2[, , siendo sus derivadas respectivamente
−2x
f 0 (x) = 2x y g 0 (x) =
(1 + x2 )2
Ninguna de sus derivadas se anulan a la vez en ]0, 2[ y además g(0) = 1
1
no coincide cong(2) =
5
Por todo esto; ambas funciones verifican las hipótesis del teorema de
Cauchy en [0, 2] y consecuentemente podemos afirmar que:
∃c ∈ ]0, 2[ /
m
∃c ∈ ]0, 2[ /

f 0 (c)
f (2) − f (0)
= 0
g(2) − g(0)
g (c)
4
2c
=
1
−2c
−1
5
(1 + c2 )2
³

∃c ∈ ]0, 2[ / − 5 = − 1 + c2

´2

√
2
Resolviendo la ecuación 5 = (1 + c2 ) → 1 + c2 = ± 5
Las únicas soluciones reales son:
 q
√
 −1 + 5 ' 1. 11178 59405∈]0, 2[
q
c=
√
− −1 + 5 ' −1. 11178 59405 ∈]0,
/ 2[

Dicho valor es → c =

q

−1 +

√
5

Exercise 1.3 Aplicar si es posible el teorema de Cauchy a las funciones
f (x) = 3x4 − 2x3 − x2 + 1 y g(x) = 4x3 − 3x2 − 2x en [0, 1]
• Por ser polinómicas ambas funciones son derivables y continuas en <
• En particular, f y g son continuas en [0, 1] y derivables en ]0, 1[; siendo
sus derivadas respectivamente f0 (x) = 12x3 − 6x2 − 2x y g 0 (x) =
12x2 − 6x − 2
• g(1) = −1; g(0) = 0
• Veamos ahora si sus derivadas se anulan a la vez en ]0, 1[
2














x = 0 ∈]0,
/ 1[
√
1
1
12x − 6x − 2x = 0 →  x = 4 + 12
√33 ∈]0, 1[

1
1
x = 4 −√
33 ∈]0,
/ 1[
12
(


1
1


x = 4 + 12 √33 ∈]0, 1[

2

 12x − 6x − 2 = 0 →
1
x = 14 − 12
33 ∈]0,
/ 1[
Como sus derivadas se anulan a la vez en ]0, 1[(en concreto para 14 +
√
1
33); estas funciones no verifican las hipótesis del teorema de Cauchy y
12
por lo tanto no podemos aplicarlo
3

2

Exercise 1.4 Aplicar si es posible el teorema de Cauchy a las funciones
x2
x3
− x y g(x) =
− x + 1 en [0, 3]
f (x) =
3
2
¿Y en el intervalo [2, 3]
Exercise 1.5 Comprobar que al aplicar el teorema de Cauchy a la funciones
π π
seno y coseno en [ , ] el punto dela tesis es el punto medio del intervalo
6 3
π π
[ , ]
6 3







Ayuda: 





Ã

!

Ã

!

b−a
b+a
sin b − sin a = 2 sin
cos
Ã2
!
Ã2
!
a+b
b−a
cos b − cos a = −2 sin
sin
2
2













π
Exercise 1.6 Demuestra que para todo x ∈]0, [ siempre existe al menos
2
π
un y ∈]0, [ con y < x tal que se verifica la ecuación
2
cot x − csc x + tan y = 0
Consideramos las funciones f (x)= cos x y g(x) = sin x en [0, x] con
π
x<
2
Ambas funciones verifican las hipótesis del T. de Cauchy ya que:
• Son continuas en [0, x]
• Son derivables en ]0, x[ siendo sus derivadas f 0 (x) = − sin x, g 0 (x) =
cos x
3

• Sus derivadas no se anulan a la vez en ]0, x[

π
• g(0) 6= g(x) ya que g(x) = sin x es est. creciente en en [0, ]
2

Por todo ello; podemos aplicar el T. de Cauchy a estasfunciones y por lo
tanto
∃y ∈ ]0, x[ /
m
∃y ∈ ]0, x[ /

f 0 (y)
f (x) − f (0)
= 0
g(x) − g(0)
g (y)
− sin y
cos x − 1
=
sin x
cos y

cos x − 1
− sin y
=
→ cot x − csc x = − tan y
sin x
cos y
π
Con lo que queda demostrado que dado cualquier x ∈]0, [ siempre existe
2
π
al menos un y ∈]0, [ con y < x tal que se verifica la ecuación
2
Como

cot x − csc x + tan y = 0
Exercise 1.7 Dadas las funciones f...