Teorema de Cauchy

CAP´ITULO 6

Teor´ıa local de Cauchy
6.1

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INTRODUCCION

Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parang´on en la teor´ıa de
funciones de una o varias variables reales. La llave: la f´ormula de Cauchy, que al
expresar el valor en un punto de una funci´on holomorfa —en abiertos estrellados, de
momento— como una especie de promedio integral de sus valores sobre un camino
cerrado querodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la funci´on
como una integral dependiente de un par´ametro, con consecuencias adivinables en
algunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisibles
en otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del a´ lgebra, . . . )
La f´ormula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy. Reflexionando aposteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultados
se sustenten, finalmente, en algo que podr´ıa parecer una simple curiosidad: la integral de una funci´on holomorfa en un disco (o, con la misma demostraci´on, en
un abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (tambi´en si la funci´on deja
de ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta ser´a nuestraprimera versi´on del teorema de Cauchy: m´as adelante nos ocuparemos de extender
su alcance (comenzando por ampliar el a´ mbito de validez de la f´ormula de Cauchy
en la denominada “teor´ıa global de Cauchy”).
Sin embargo, el examen de la demostraci´on del teorema de Cauchy revela la
causa de esta peque˜na maravilla, situ´andonos en terreno m´as conocido. Basta encontrar una primitiva de la funci´ondada para saber que la integral es nula, y esto reduce
el problema a probar la anulaci´on de la integral sobre el contorno de un tri´angulo
(teorema de Cauchy-Goursat). Una exposici´on inmejorable de este planteamiento
puede verse en Open University: Integration/Cauchy’s Theorem I/Taylor Series.
The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa p´agina se
encuentraperfectamente desglosada y explicada la demostraci´on, si bien bajo la
hip´otesis de derivabilidad en todos los puntos.
Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentran
b´asicamente en
Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,
Madrid (1987).
Como complemento en algunos detalles,
Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer,New
York (1978).
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6.2

Teor´ıa local de Cauchy
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TEOREMA Y FORMULA
DE CAUCHY

1 Teorema. Sea un abierto no vac´ıo de C, f : → C continua. Son equivalentes:
(1.1) existe una primitiva de f en , es decir, una funci´on F ∈ H( ) tal que
F = f;
(1.2) para todo camino cerrado γ contenido en ,
f (z) dz = 0;

γ

(1.3) para dos caminos cualesquiera γ1 , γ2 contenidos en
mismos or´ıgenes e igualesextremos,

γ1

f (z) dz =

γ2

que tengan los

f (z) dz.

Demostraci´on. (Recu´erdese el teorema de los campos conservativos para formas
diferenciales reales).
(1.1) ⇒ (1.2) Visto.
(1.2) ⇒ (1.3) γ1 ∪ (−γ2 ) es un camino cerrado contenido en .
(1.3) ⇒ (1.1) Si no es conexo, las componentes conexas de son abiertos
disjuntos dos a dos cuya uni´on es . Por tanto, para construir una primitiva de f
en essuficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de
.
Sea, pues, G una componente conexa de . Fijado a ∈ G, definimos F :
G → C haciendo
F(z) =
f (w) dw,
γz

donde γz es cualquier camino contenido en G con origen a y extremo z (la funci´on
F est´a entonces bien definida por ser la integral independiente del camino). Esta
funci´on F es derivable, y para cada z 0 ∈ G es F (z 0 )= f (z 0 ). En efecto: dado
z 0 ∈ G, tomemos ε de modo que D(z 0 ; ε) ⊆ G; si γ0 es un determinado camino
contenido en G con origen a y extremo z 0 , para cada z ∈ D(z 0 ; ε) sea γz la uni´on
de γ0 con el segmento [z 0 , z], que por ser un camino contenido en G con origen a
y extremo z nos permite escribir
F(z) − F(z 0 )
1
=
z − z0
z − z0
1
=
z − z0

γz

f (w) dw −

[z 0 ,z]

f (w) dw

γ0

f (w)...