Teorema De La Convolucion

Teorema De La Convolucion
Teoremade Convolución
Si L-1{F(s)} = f(t) y L-1{G(s)} = g(t)entonces,

O esta puede ser reescrita como,

Aquí f * g se llama la convolución de F y G. esto es llamadoel teorema de convolución de la transformada de Laplace. Es una propiedad importante de la transformada de Laplace. El teorema anterior indica que puede probarse como,
A partir de la definición dela transformada de Laplace sabemos que,
L{ f(u) g(t – u) du} = e-st { f(u) g(t – u) du} dt
= e-stf(u) g(t – u) du dt
Aquí la región de integración es la parte sombreada de la siguientefigura,

Ahora, cambiando el orden de integración, tenemos la siguiente parte sombreada como la región de integración.

Entonces obtenemos,
L{ f(u) g(t – u) du} = e-stf(u) g(t – u) du dt
= f(u) { e-stg(t – u) dt} du
= fijando t – u = v obtenemos, dt = dv
= f(u) { e-s(u + v) g(v) dv} du
= { e-suf(u) du}. e-sv g(v) dv}
O, L{ f(u) g(t – u) du} = F(s) G(s)
Invirtiendo ambos lados de la ecuaciónobtenemos,
L-1{F(s) G(s)} = f(u) g(t – u) du
L-1{F(s) G(s)} = f * g
Existe una cantidad amplia de problemas que pueden resolverse con la ayuda del teorema de convolución.



El aliasing seproduce cuando la frecuencia de muestreo es inferior a la frecuencia Nyquist y por lo tanto insuficiente para hacer el muestreo correctamente con lo cual inventa frecuencias fantasmas que no tiene nadaque ver con la original. Afecta más a las frecuencias altas, que se pierden antes, por lo tanto los tonos agudos se verán más afectados por el aliasing.

La onda original es la azul, hice unremuestreo a 20.000Hz, como se puede apreciar en la línea roja se ha perdido algo de información pero no ha variado demasiado pues la frecuencia máxima era 22.050 Hz. Para la línea verde elegí unvalor claramente inferior, hice un muestreo a 5.000 Hz para que se pudiera apreciar fácilmente como se ha deformando la onda. Aparecen frecuencias que nada tienen que ver con la onda original.