teorema de steiner

MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE STEINER
• Objetivo.
• Determinar la constante recuperadora de un muelle espiral.
• Determinar experimentalmente el momento de inercia de diferentes cuerpos, y comparar estos
resultados con los correspondientes valores teóricos.
• Comprobar la veracidad del teorema de Steiner.
• Fundamentación Teórica.
El muelle espiral: El muelle espiral es un muelle que,al igual que los muelles lineales, cumple la ley de
Hooke. Cuando el muelle se tensa, aparece un par de fuerzas recuperador que lo devuelve a su posición de
equilibrio. De esta forma, consideramos que el par recuperador es proporcional al ángulo girado:

Donde es la fuerza del par recuperador, R es la constante recuperadora del muelle y es el ángulo girado. Si
tenemos un sistema físico sujetoal muelle espiral, el periodo de oscilación viene dado por la expresión:

Donde L es el momento de inercia del sistema respecto al eje de rotación. Por tanto, si conocemos R, podemos
saber el momento de inercia del sistema físico con solo medir el periodo de oscilaciones.
El teorema de Steiner: Este teorema nos da el momento de inercia de un cuerpo cuando el eje de rotación
pasa paralelo a uneje de rotación que pasa por el centro de masas del cuerpo. Viene dado por la expresión
siguiente:

En donde ICM nos indica el momento de inercia cuando el eje pasa por el centro de masas, m es la masa del
cuerpo y d es la distancia entre el eje y el centro de masas del cuerpo.

Variación del momento de inercia de un cuerpo con la distancia al eje: Imagina que tenemos un sistema
formadopor una barra delgada y dos masas cilíndricas movibles dispuestas en forma simétrica sobre ella de
esta forma:
El momento de inercia de este sistema es:

Donde Ib es el momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por su centro de masas, Ic es el
momento de inercia de las masas cilíndricas con respecto a un eje paralelo al interior que pasa por su centro de
1

masas y d ladistancia desde el eje hasta el centro de cada una de las masas móviles. Para este determinado
sistema, si sustituimos esta expresión en la expresión del periodo, obtenemos que:

• Desarrollo experimental y resultados obtenidos.
Ley de Hooke: En una primera parte del desarrollo experimental vamos a determinar la constante R de
nuestro muelle. Para ello ponemos primeramente la varilla colocando eleje de rotación en el centro de esta.
Mediante un dinamómetro y procurando que este aplique la fuerza ortogonalmente respecto a la varilla, y este
paralelo al plano de la mesa, aplicamos una fuerza de forma que el ángulo sea de /2, y anotamos la fuerza
que nos marca el dinamómetro. Repetimos con otros cuantos ángulos mayores, y obtenemos estos resultados:
d=0.3 ± 0.02 m (brazo de la varilla)(grados)
0° ± 1°
90° ± 1°
180°± 1°
270° ± 1°
360° ± 1°

(radianes)
0 ± 0.02
/2 ± 0.02
± 0.02
3/2 ± 0.02
2 ± 0.02

F (Newtons)
0 ± 0.02
0.12 ± 0.02
0.22 ± 0.02
0.36 ± 0.02
0.46 ± 0.02

=Fd
0 ± 0.006
0.03 ± 0.006
0.066 ± 0.006
0.108 ± 0.007
0.138 ± 0.008

Para el cálculo del error de hemos utilizado la expresión:

Ajustando a una recta por el método de mínimos cuadrados,obtenemos la representación gráfica de = f():

Teorema de Steiner: En este apartado vamos a comprobar una forma alternativa de obtener la constante R, y
además, comprobar el teorema de Steiner. Para ello, hallaremos en momento de inercia con respecto a los ejes
definidos por los orificios del disco, y midiendo el periodo, emplearemos la ecuación siguiente:

2

Orificio

d (cm)

d2(cm2)

t (s)
27.35

1

0.0 ± 0.1

0.0 ± 0.0

27.66

T=t/n

27.35 ± 0.01

T2

2.735 ± 0.001 7.480 ± 0.005

27.04
28.87
2

3.0 ± 0.1

9.0 ± 0.6

29.02

28.93 ± 0.01

2.893 ± 0.001 8.369 ± 0.006

28.90
31.25
3

6.0 ± 0.1

36.0 ± 1.2

31.22

31.28 ± 0.01

3.128 ± 0.001 9.784 ± 0.006

31.38
34.78
4

9.0 ± 0.1

81.0 ± 1.8

34.62

34.77 ± 0.01...