Tipos de Relaciones

Tipos de Relaciones


Relación Reflexiva.

Una relación se llama reflexiva si todo elemento esta relacionado con sigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionadosconsigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.



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1.  Simétricas y transitivas
Transitiva: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento y el segundo estárelacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero: (∀ x)(∀y)(∀z)((x,y) ∈R ^ (y,z) ∈R) -> (x,z) ∈R).
Como podemos ver para que una relación sea simétrica, siempreque un par está en R el par inverso debe también estar. sin embargo en la antisimétrica si un par está en la relación el par inverso n puede estar.
Nota: Vemos que la definición deantisimétrica se indica que el par inverso no puede estar cuando los elementos son distintos por razones obvias.

2. 4. 2.2.3 Simétricas y transitivas
Ejemplos: Analizaremos en base alo anterior.
A = {a,b,c,d,e}
R1 = (a,a),(b,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,d)
R2 = (a,a),(a,d),(c,b),(d,a),(c,e),(e,e))
R3 = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(b,c),(b,a))
R4 =(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(b,e),(c,e),(b,d),(d,a),(e,e)
R5 = (a,c),(a,e),(e,c),(b,c)
R6 = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,e),(b,c),(c,b),(e,a)
R7 =(a,b),(b,d),(c,a),(d,e),(e,c),(b,c),(b,a))

3. 5. 2.2.3 Simétricas y transitivas
Teorema Una relación R en un conjunto es simétrica si y sólo si los elementos opuestos con respecto a la diagonalprincipal son iguales.
Teorema Una relación R en un conjunto es antisimétrica si y sólo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puedeaparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.
De las relaciones anteriores R6 es simétrica. R3, R5 son antisimétricas y R3, R6 y R6 son transitivas.

4. 6. 2.2.3 Simétricas y tra