Transformaciones Isom Tricas

Transformaciones Isométricas.
Isometría: La palabra isometría proviene del griego, la que significa ‘igual medida’ (iso: misma, metría: medida).
Una transformación isométrica es una transformación de una figura en otra similar que mantiene la forma y tamaño original, y sólo varía su posición.
Al aplicar una isometría a una figura, se obtiene otra figura congruente a la original, llamada imagen.I. Traslación.
Una Traslación es una transformación isométrica respecto de un vector dado, por lo tanto, en una traslación se puede distinguir dirección (horizontal, vertical), sentido (arriba, abajo, derecha, izquierda o norte, sur, este, oeste) y magnitud (Longitud; 1, 2, 3, 4, 5, 6… unidades).
Ejemplos:






En la figura 1, el triángulo ABC se trasladó con respecto al vector dando origenal triángulo A’B’C’, El vector indica que cada vértice del triángulo original debe moverse 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba.
En la figura 2, el triángulo DEF se trasladó con respecto al vector u, dando origen al triángulo D’E’F’. El vector u indica que cada punto debe moverse 4 unidades hacia abajo.
Los puntos A y A’, B y B’, C y C’, D y D’, E y E’, F y F’ son puntoscorrespondientes entre sí.
Se puede verificar que las figuras originales y sus respectivas imágenes son congruentes, es decir, la figura trasladada conserva a forma y las medidas de la figura original.
Traslación en un sistema de coordenadas.
Para describir la traslación de una figura con respecto a un vector se puede utilizar un sistema cartesiano de coordenadas. Así, conociendo las coordenadas originalesde la figura, y las coordenadas de un vector dado, se pueden obtener las coordenadas de la figura trasladada.
Las nuevas coordenadas de un punto P(a, b) trasladado con respecto a un vector (m, n) son:

Y
Composición de traslaciones.
Una composición de traslaciones es la aplicación sucesiva de dos o más traslaciones.
Si sobre una figura seaplica una traslación con respecto al vector = (x, y), y sobre la imagen se aplica otra traslación con respecto a un vector u = (m, n), el resultado es una traslación de la figura original con respecto a un vector w= (x + m, y + n).
II. Rotación.
Una rotación de centro O y ángulo de rotación  es una isometría que asocia a un punto P otro punto P’, y la medida del ángulo POP’ es .





Losángulos de rotación pueden tener sentido positivo (en sentido contrario a los punteros del reloj) o negativo (en el sentido de los punteros del reloj).
Ejemplos: En la figura 1, el triángulo ABC sufrió una rotación con centro en O y un ángulo de 45° en sentido positivo. En la figura 2, el cuadrado DEFG sufrió una rotación con centro en Q y un ángulo de 120° en sentido negativo.







Rotación de unpunto dado.
Para rotar un punto A en torno a un centro en O en un ángulo , se pueden realizar los siguientes pasos:
1. Dibujar una circunferencia con centro en O y radio OA.
2. Con un transportador, medir un ángulo  a partir del radio OA, considerando el sentido del ángulo (positivo o negativo), y marcar el punto A’ sobre la circunferencia.






Composición de rotaciones.
Unacomposición de rotaciones es la aplicación sucesiva de dos o más rotaciones.
Si a una figura se le aplica una rotación con centro O y ángulo , y luego a la imagen obtenida se aplica otra rotación con el mismo centro y ángulo β, entonces la imagen final se puede obtener mediante una rotación a la figura inicial de centro O y ángulo  + β.El punto A’’ se obtiene aplicando una
rotación con centro O y ángulo  + β
sobre A.



Una simetría es otro tipo de transformación isométrica,...