Transformaciones Lineales

ALGEBRA LINEAL
TRANSFORMACIONES LINEALES
* INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales se emplean dos herramientas matemáticas que facilitan los cálculos: las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas deecuaciones lineales.
Cuando estudiamos un sistema de ecuaciones lineales se deben tomar en cuenta ciertos criterios como, si este tiene solución, es decir, si es compatible o no y si tiene solución, cuáles y cuantas son.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝:
T (u+v)= Tu+Tv
T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría decategorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
Homomorfismo: En matemáticas, un homomorfismo, (o a veces simplemente morfismo) desde un objeto matemático a otro de la misma categoría, es una función que es compatible con toda la estructura relevante.
Morfismo: En matemáticas, una categoría viene dada por dos tipos de datos: una clase de objetos y,para cada par de objetos X y Y, un conjunto de morfismos desde X a Y.
Las transformaciones lineales se clasifican en tres casos que son: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Y para reconocer esto existen tres tipos de clasificaciones a su vez, una para cada caso, es decir:
Monomorfismo: Si T: VW es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
Epimorfismo: Si T: VW essobreyectiva (suryectiva).
Isomorfismo: Si T: VW es biyectiva (inyectiva y suryectiva.

* NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Sean V y W espacios vectoriales sobre K (donde K representa el cuerpo) se satisface que:
Si T: V W es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de T de la siguiente manera:
Ker(T) = { u E V : T(u) = 0W}
Im(T) = { w E W : eV : T(u) =w}
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:
1. 0V E Ker(T) dado que
T(0V) = 0W
2. Dados
u, v E Ker(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0W + 0W = 0W u+v E Ker(T)
3. Dados
u e Ker(T) ^K e R : T(K*u) = KT(u) ^ T(K*u) = K0W = 0W Ku E Ker(T)
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
null(T) = dim(Ker(T))
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
*La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
*El rango de una transformaciónlineal es la dimensión de la imagen.
ran(T) = dim (Im(T))

* LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Según la teoría de *Brevis-Devaud, una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por loscoeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))
Ejemplo de la matriz de una transformación lineal:
Demuestre que la transformación T : R^2 R^2 definida por T [ x ] = [ x + 3y ] es lineal....