Transformada inversa de Laplace

ECUACIONES DIFERENCIALES

LaminaED15

La Transformada Inversa de Laplace

Definición : Transformada Inversa de Laplace
Si F ( s ) representa la transformada de Laplace de una
función f (t ), es decir , L  f (t )  F ( s ) , se dice entonces
que f (t ) es la Transformada de Laplace Inversa de F ( s )
y se escribe f (t )  L 1 F ( s ) .

La Linealidad de la Transformada Inversa deLaplace

Definición : La Transformada Inversa de Laplace como una
transformación lineal.
La Transformada Inversa de Laplace es una transformación
lineal porque cumple con las siguientes propiedades :
*Propiedad de multiplicación por un escalar :
L 1  F ( s )   L 1 F ( s )   f (t )
*Propiedad Distributiva :
L 1  F ( s )   G ( s )   L 1 F ( s )   L

1

G (s)  f (t )   g (t )
Ejercicio # 117
Evaluar las siguientes transformadas inversas de Laplace.

5 
 
s
 10 
b) L 1 2 
s 
a) L

c) L

1

1

3
 3
s 

 4 


s  2
 4 
e) L 1 2

s  2
d) L

f)

L

1

1

 3s 
 2

 s  25 

Solución:

5 
 5
s
 10 
b) L 1 2   10 t
s 
3 3
c) L 1 3   t 2s  2
a) L

1

Semestre 2013-2

 4 
2 s

  4e
s  2
 4  4
sen 2 t
e) L 1 2

2
s  2
 3s 
f) L 1 2
  3cos(5t )
 s  25 
d) L

1



-1-



Ing. Jesús Alfredo Zárraga Martínez

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LaminaED15

Transformadas Inversas de Laplace de algunas Funciones Básicas

Definición : Algunas Transformadas Inversas deLaplace
1 
a) 1  L 1  
s
 n! 
b) t n  L 1  n 1  , n  1, 2,3,...
s 
 1 
c) e at  L 1 

s  a

 s 
e) cos(kt )  L 1  2
2
s  k 
 k 
f ) senh(kt )  L 1  2
2
s  k 
 s 
g ) cosh(kt )  L 1  2
2
s  k 

 k 
d ) sen(kt )  L 1  2
2
s  k 

La no Unicidad de la Transformada Inversa de Laplace

Definición : La no unicidad dela Transformada
Inversa de Laplace.
La Transformada Inversa de Laplace de una función
F ( s ), es decir L 1 F ( s )  f (t ), puede no ser única,
es decir , puede llevarnos a más de una función f (t ).

Ejercicio # 118
Evaluar la Transformada de Laplace de la función f (t ) y luego determine su
transformada inversa.
2

f (t )  4
2


0t 5
t 5
t 5

Solución:
Lagráfica de f (t ) es:

Semestre 2013-2

-2-

Ing. Jesús Alfredo Zárraga Martínez

ECUACIONES DIFERENCIALES

LaminaED15

Para encontrar su transformada de Laplace, utilizamos definición:

L  f (t )   2e  st dt 
5

0

5

 2

L  f (t )    e  st  
 s
0

5

 5 4e

 st

b

2e
b  5

dt  lim

 st

5

b

 4  st 
 2  st 
lim
  s e  b   s e 

5

5





 2  sb 5 s 
 s e  e




2
4
L  f (t )   e 5 s  1  e 5 s  e 5 s   lim

 s
 b
s
L  f (t )  

dt

2e5 s
2
2e5 s
2



s
s
s
s

L  f (t )  F ( s ) 

2
s

Para obtener la transformada inversa de F(s) resulta obvio que esta será f(t),
función de la cual partimos, pero observandodetenidamente F(s) nos damos
2
cuenta que la función g (t )  2 es también la transformada inversa de F ( s)  .
s
Éste resultado comprueba la no unicidad de la Transformada Inversa de
Laplace. Esto se debe a que la Transformada de Laplace es una integral, y las
integrales no cambian su resultado al cambiar de valor puntos aislados de una
función, tal como sucede en éste ejercicio, ya que lafunción f(t) vale 2 para
todas las abscisas excepto para un punto.

Ejercicio # 119

 5s  3 

Evaluar L 1  2
utilizando las propiedades de linealidad de la

s  2


transformada inversa de Laplace.
Solución:
Semestre 2013-2

 5s  3 


L 1  2
  5cos
s  2







2t 
-3-

3
sen
2



2t



Ing. Jesús Alfredo Zárraga...