Unidad 5 Induccion

DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA MODERNA

UNIDAD N°
5 COMPLETA
INDUCCIÓN
DIVISIBILIDAD

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Álgebra Moderna – Inducción Completa
LOS NÚMEROS NATURALES SEGÚN PEANO
Los axiomas de Peano o postulados de Peano fueron ideados por el matemático Giuseppe
Peano en el siglo XIX. Estos axiomas sirven para definir el conjunto de los números naturalesy
permiten entender la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.
Siguiente de un número natural:

n  ¥  n '  n 1
Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:
•El 0 es un número natural:

0¥
•Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural:

n  ¥  n ' ¥
•El 0 no es el sucesor de algún número natural:

n¥  n'  0

•Sihay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n = m:

n'  m'  n  m

•Principio de inducción completa: Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural
cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los
números naturales pertenecen a ese conjunto:

 0  S  S  ¥  n  S  n ' S   S  ¥

Álgebra Moderna – Inducción CompletaPRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA
 
Sea la función proposicional P(n), donde n  N. Si ocurre que P(0) es verdadera, y
además P(h) es verdadera, y de aquí se deduce que P(h+1) es verdadera,
entonces P(n) es verdadera
 
Hipótesis
P(0) es verdadera
h:P(h)  P(h+1)
 
Tesis
n:P(n) es Verdadera
 

Álgebra Moderna – Inducción Completa

Por ejemplo:
n(n  1)
1

2

3

...

n

 Demostrar que

2

 Para ello hacemos:
 
Para n=0
0

0.(0  1)
0
0 00
2
2

Esto significa que P(1) es verdadero

Planteamos una hipótesis donde n=h (P(h) verdadera), entonces
1  2  3  4  5  ...h 

h.(h  1)
2

Ahora la tesis para n=h+1
1  2  3  4  ...  h  (h  1) 

(h  1).( h  1  1)
2

Álgebra Moderna – Inducción Completa
Demostración
 Por hipótesis, y teniendo en cuenta los h primeros términostenemos:

(h  1).( h  1  1)
1  2  3  4  ...  h  (h  1) 
2
h.(h  1)
(h  1).( h  2)
 (h  1) 
2
2
Y sacando común denominador, tenemos:

h.( h  1)  2.(h  1) (h  1).( h  2)

2
2
Y sacando factor común (h+1) queda:

(h  1).( h  2) (h  1).( h  2)

2
2
Esto indica que P(h+1) es verdadera, lo que significa que esta se cumple para todos los
naturales.-

Álgebra Moderna –Inducción Completa

EL SÍMBOLO DE SUMATORIA
 
En más de una oportunidad debemos resumir una suma de términos ya sea infinita o
finita, para ello recurrimos a un símbolo llamado de sumatoria (). Por ejemplo sea:
5

a1  a2  a3  a4  a5   a i
i 1

Donde {1,2,3,4,5}I (conjunto de índices), i=1 se denomina extremo inferior, 5 extremo
superior.Sea por ejemplo:

n

a

i

a1  a 2  a3  ...  a n

i1

Ahora, sea por ejemplo:
5

2
i
1 2 3 4 5  

2

2

2

2

2

i 1

Álgebra Moderna – Inducción Completa
Para desarrollar la sumatoria hacemos:
6

1
1
1
1
1
1
1
1
21
.i  0  1  .2  .3  .4  .5  .6 

2
2
2
2
2
2
2
2
i 0 2
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
1. La sumatoria de la suma es igual a la suma de las sumatorias
n

 (a

i

i 1

n

n

i 1

i 1

 bi )  ai   bi

Demostración:Desarrollando la sumatoria se tiene:
n

 (a

i

 bi ) (a1  b1 )  (a 2  b2 )  ...  (a n  bn )

i

 bi ) (a1  a 2  ...  a n )  (b1  b2  ...  bn )

i 1
n

 (a
i 1
n

 (a
i 1

i

n

n

i 1

i 1

 bi )  ai   bi

Álgebra Moderna – Inducción Completa

2. La sumatoria de una constante por el término genérico, es igual a la constante por la
sumatoria
n

 k.a
i 1

n

i

k  ai
i 1

Demostración:
n

 k.a

i

k .a1  k .a 2  k .a3  ...  k .a n

 k.a

i

k .(a1  a 2  a 3  ...  a n )

i 1
n
i 1

n

 k.a
i 1

n

i

k  a i
i 1

Álgebra Moderna – Inducción Completa
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
 DIVISORES Y MÚLTIPLOS
 
Sean los números enteros “a” y “b”, se dice que “a” divide a “b” sí y solo si
existe otro entero “c” tal que b=a x c. En símbolos:

Sean a ...