Unidad 6 TRANSFORMACIONES LINEALES 1

ÁLGEBRA
Apuntes de la Cátedra

Unidad 6:

TRANSFORMACIONES Año
2014
LINEALES
Transformaciones lineales. Geometría de las TL en el plano. Núcleo e imagen de una T.L.
Clasificación de T.L. Composición de T.L. Teorema fundamental de las T.L. Matriz asociada
a una T.L. Matriz de Cambio de base. Proyecciones, rotaciones y simetrías en R2, R3 y Rn

Carrera: Licenciatura en Sistemas
Instituto deDesarrollo Económico e Innovacion
Universidad Nacional de Tierra del Fuego. Ushuaia, Argentina

TRANSFORMACIONES LINEALES

Rodolfo
Iturraspe
Profesor
asociado

INSTITUTO DE DESARROLLO
ECONÓMICO E INNOVACIÓN

UNIDAD 6: TRANSFORMACIONES LINEALES
ÁLGEBRA. Apuntes de Teoría de la Cátedra
Prof: Rodolfo Iturraspe

Definición
Sean V, W EV sobre un
cuerpo de escalares K
u
v
u+v

T(u)
T(v)
T(u+v) = T(u)+ T(v)ku

T(ku) = k T(u)

T: V W es una
Transformación Lineal 
u, v  V,  k  K:
T(u+v) = T(u) + T(v)
T(ku) = k T(u)

V

W

La definición indica que las T.L. son funciones lineales entre espacios vectoriales. Si
bien las aplicaciones más frecuentes son funciones entre Rn y R m, T puede relacionar
espacios vectoriales de diversas carácterísticas.
Por ejemplo, T puede asignar vectores de R3 a R2 oviceversa. Si V=W, un mismo
espacio es a la vez dominio y codominio de la función.
Propiedad
Sea T: V  W TL 
T(0) = 0

T(0) = T(v + (-v)) = T(v) + T(-v) = T(v) - T(v) = 0
Si T(0)  0  T no es TL.

Ejemplos
1) T: R2  R2 /T(x1, x2) = (-x1,-x2) ( asigna a cada vector de R2 su opuesto).
Para comprobar que T es TL hay que verificar que se cumplen las condiciones de la
definición:
T(u+v) = T(u1+v1,u2+v2) = (- u1-v1, -u2-v2) = (-u1,-u2)+(-v1,-v2) = T(u) + T(v)
T(ku) = T(ku1, ku2) = (- ku1, - ku2) = k ( -u1, -u2) = kT(u)

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2) T: R2  R4 /T(x1,x2) = (2x1, 2x1+x2, 2x1+x2, 2x2) (asigna a cada vector de R2 uno
de R4 )
T(u+v) = T(u1+v1, u2+v2) =(u1+v1, 2(u1+v1)+(u2+v2) , 2(u1+v1)+(u2+v2),
u2+v2) =
= (2u1, 2u1+u2, 2u1+u2, 2u2) + (2v1, 2v1+v2, 2v1+v2, 2v2) = T(u) + T(v)
T(ku) = T(ku1, ku2) = (2ku1, 2ku1+ku2, 2ku1+ku2, 2ku2) =
= k (2u1, 2u1+u2, 2u1+u2, 2u2) = kT(u)
Como ejemplo, calculamos T(1 ,2) = ( 2, 4, 4, 2)

3) T: R2  R2x2 / T(x1, x2) =

2x1
2x1+x2
2x1+x2
2x2

La función es muy similar a la anterior, ya que los elementos de la segundafila de la
matriz están definidos de igual manera que las últimas dos componentes en R4. T
“construye” matrices simétricas 2x2 a partir de vectores de R2 .
T (1, 2) =

2
4

4
2

Ejemplos de Funciones que no son TL
T: R2 R2 / T( x1, x2) = ( x12+ x22, 0 )
T(u+v) = T(u1+v1, u2+v2) = ((u1+v1)2, 0 ) = (u12+2u1v1+v12, 0 )
Pero T(u) + T(v) = ( u12, 0 ) + ( v12, 0 ) = (u12 + v12, 0 )
T(u+v)  T(u) + T(v) T no es TL

Una función que parece TL pero que en general no lo es:
T: R2 R2 / T( x1, x2) = ( x1, x2 + t ) ; t R
Toda TL debe verificar T(0) = 0

(vector nulo), pero

para t  0: T(0,0) = (0 , t)  (0 , 0)  Se rechaza T como TL para t  0.
A una conclusión más completa se llega en base al análisis de linealidad:
T(u+v) = T(u1+v1, u2+v2) = ( u1+v1, u2+v2+t)
Pero T(u)+ T(v) = (u1, u2 + t) + (v1,v2 + t) =( u1+v1, u2+v2+2t)
Resultan dos situaciones:
a) t 0  T(u+v)  T(u) + T(v)
b) t= 0  t = 2t

 T no es TL (como era de esperar)

T(u+v) = T(u) + T(v)

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Además, con t=0: T(ku) = kT(u)



T es TL.

Si la definición de T implica laadición de una constante no nula  T no es TL.
Una función de la forma T(x1, x2) = (x1, x2 + t) es una traslación sobre el eje x2.
La misma tiene importante aplicabilidad, pero no está sujeta a la teoría de las T.L..

TL de una CL de vectores
T:VW es TL  T(αu+βv) = αT(u) + βT(v)
La transformación de una combinación lineal de vectores es igual a la misma
combinación lineal de las trasformaciones de...