Universitario

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Cap´ıtulo 8. El teorema de Riemann-Roch
Para ello vamos a ver que
C
L
conmuta con la traza, de modo que esto ser´aequivalente aRes
K
p

(
ρ
p
)
n

dρ
p
ρ
p

= Res
L
p

Tr
K
p
L
p

(
ρ
p
)
n

π
p
ρ
p
dρ
p
dπ
p

dπ
p
π
p

,
(8.8)pero esto es (8.6) para
n

=
n/p
. Por consiguiente, aplicando un n´umero finito deveces losoperadores de Cartier reducimos el problema a los casos ya probados.As´ı pues, s´olo falta comprobar la igualdad de los miembros derechos de (8.7)y (8.8). Para ello observamos que
|
K
:
K
p
|
=
p
y que
π /
∈
K
p
(pues si
π
=
α
p
entonces
α /
∈
L
y la extensi´on
L
(
α
)
/L
ser´ıa inseparable). Por consiguiente
K
=
K
p
(
π
). Esto nos permite expresarπρdρdπ
=
p
−
1

i
=0
g
i
π
i
, g
i
∈
K
p
.
EntoncesTr
KL

ρ
n
πρdρdπ

=
p
−
1

i
=0
Tr
KL
(
ρ
n
g
i
)
π
i
,
y como
ρ
n
g
i
∈
K
p
, resulta que Tr
KL
(
ρ
n
g
i
)
∈
L
p
, de donde
C
L

Tr
KL

ρ
n
πρdρdπ

dππ

= Tr
KL
(
ρ
n
g
0
)
dπ
p
π
p
= Tr
K
p
L
p
(
ρ
n
g
0
)
dπ
p
π
p
= Tr
K
pL
p

π
p
dπ
p
C
K

ρ
n
πρdρdπdππ

dπ
p
π
p
= Tr
K
p
L
p

π
p
dπ
p
ρ
n
C
K

dρρ

dπ
p
π
p
= Tr
K
p
L
p

π
p
dπ
p
ρ
n
dρ
p
ρ
p

dπ
p
π
p
= Tr
K
p
L
p

(
ρ
p
)
n

π
p
ρ
p
dρ
p
dπ
p

dπ
p
π
p
,
como hab´ıa que probar.
8.2 Diferenciales de funciones algebraicas
Nos ocupamos ahorade la teor´ıa global correspondiente a la teor´ıa local queacabamos de desarrollar. Necesitamos un resultado previo sobre separabilidad.El teorema 1.32 implica como caso particular que si
K
es un cuerpo de funcionesalgebraicas, existe un
x
∈
K
tal que la extensi´on
K/k
0
(
x
) es finita separable.Vamos a dar otra prueba de este teorema para cuerpos de funciones algebraicasque ena˜nadidura caracteriza los
x
que cumplen esto:
Definici´on 8.10
Sea
K
un cuerpo de funciones algebraicas sobre un cuerpo deconstantes
k
0
. Diremos que un elemento
x
∈
K
es
separador
si la extensi´on
K/k
0
(
x
) es separable.Es claro que un elemento separador de
K
ha de ser trascendente sobre
k
0
(o de lo contrario la extensi´on
K/k
0
ser´ıa algebraica). Si los cuerpostienencaracter´ıstica 0, ser separador equivale a ser trascendente. M´as a´un, si
k
0
es

8.2. Diferenciales de funciones algebraicas
243el cuerpo exacto de constantes de
K
entonces ser separador equivale a no serconstante.Para probar la existencia de elementos separadores en cuerpos de carac-ter´ıstica prima (independientemente de 1.32) nos apoyaremos en el teoremasiguiente:
Teorema 8.11Sea
K
un cuerpo de funciones algebraicas sobre un cuerpo deconstantes
k
0
de caracter´ıstica prima
p
. Sea
x
∈
K
trascendente sobre
k
0
.Entonces la clausura separable de
k
0
(
x
)
en
K
es de la forma
K
s
=
K
p
n
, para cierto natural
n
≥
0
.
Demostraci´on:
Como
K/K
s
es puramente inseparable,
|
K
:
K
s
|
=
p
n
,para cierto natural
n. Tambi´en es claro que
K
p
n
⊂
K
s
pues, si
α
∈
K
, supolinomio m´ınimo sobre
K
s
ha de ser de la forma
x
p
i
−
α
p
i
, con
i
≤
n
, luego
α
p
n
∈
K
s
. Basta probar que
|
K
:
K
p
n
|
=
p
n
.Puesto que
k
0
es perfecto, tenemos que
k
p
n
=
k
0
(
x
p
n
). Llamemos
k
1
=
k
p
n
y
x
1
=
x
p
n
. As´ı
k
1
=
k
0(
x
1
),
k
=
k
1
(
x
) y
x
es ra´ız del polinomio
t
p
n
−
x
1
, que esirreducible en
k
1
[
t
], pues un factor propio ser´ıa de la forma (
t
−
x
)
p
i
=
t
p
i
−
x
p
i
,para
i < n
, con lo que
x
p
n
−
1
∈
k
0
(
x
p
n
) =
k
0
(
x
)
p
n
, de donde
x
∈
k
0
(
x
)
p
, peroesto es claramente falso.As´ı pues,
|
k
:
k...