Universitario

INTRODUCCION

En 1847 un matemático inglés autodidacta llamado George Boole (1815 – 1864), desarrolla unos
símbolos matemáticos con unas reglas que pueden ser aplicadas en problemas de lógica deductiva.
Hacia el año 1854, publicó un libro en el que explicaba cómo convertir las proposiciones lógicas en
símbolos matemáticos y cómo aplicar ciertas reglas muy simples para determinar la verdad ofalsedad de proposiciones relacionadas entre sí.

La matemática desarrollada por Boole se conoce en la actualidad como álgebra booleana,
álgebra de Boole ó lógica simbólica.

Después de su muerte, algunos matemáticos perfeccionaron su sistema para hacerlo más
utilizable, nos interesa particularmente la aplicación que en 1938 ideó el científico Claude E. Shannon.

En su tesis de graduacióndel Instituto Tecnológico de Massachuset, Shannon demostró cómo podía
aplicarse el álgebra de Boole al diseño y la simplificación de los relés y circuitos de conmutación que

se utilizan en los complejos circuitos que forman las computadoras electrónicas, pues permite
simplificar las conexiones físicas reduciendo el hardware y consiguientemente el espacio necesario
para alojarlo.DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA DE BOOLE

Un conjunto cualquiera A en el que se han definido dos operaciones binarias que llamaremos suma
lógica ( + ) y un producto lógico ( ● ), una operación unitaria que llamaremos complemento
( ∼ ), se dice que es un Álgebra de Boole si se cumplen las siguientes propiedades axiomáticas:

A1. Conmutativa: para todo a y b que son elementos del conjuntoA; la suma de a + b es igual
que b + a de la misma manera que el producto de a • b es igual a b • a.
∇ a, b ∈ A, a + b = b + a y a • b = b • a

A2. Identidad: Los elementos neutros de ( + ) y (●) son, respectivamente, el elemento cero (0) y
el elemento (1).
∇ a ∈ A, a + 0 = a y a • 1 = a

A3. Distributiva:
∇ a, b, c ∈ A, a + (b • c) = (a + b) • (a+ c) y a • (b + c) = (a • b) + (a • c)

A4. Complementario:
∇ a ∈ A, a + ∼a = 1 y a • ∼a = 0

Comentarios importantes

a) De los axiomas anteriores se deducen las siguientes tablas para las operaciones ( + ) y
(●).


Suma Lógica ( + )|
+ 0 1 0 0 1 1 1 1 |
Producto lógico (● ) |
+ 0 1 0 0 0 1 1 1 |

Así
0 + 0 = 0 0 • 0 = 0
0 + 1 = 1 0 • 1 = 0
1 + 0 = 1 1 • 0 = 01 + 1 = 1 1 • 1 = 1

b) Para que el Álgebra de Boole anterior sea aplicable a circuitos lógicos se define un conjunto
A de dos elementos como A = {0, 1}, con las operaciones ( + ) y ( ● ). En consecuencia, las
variables a, b, c,… que utilizamos son variables binarias, y sólo pueden tomar un valor de
entre dos posibles valores que son “0” y “1”.Al Álgebra de Boole de varias variables binarias se le denomina Álgebra de
Boole binaria. A partir de ahora supondremos que seguimos trabajando con esta álgebra.

c) La operación producto lógico (●) muchas veces se omitirá, dejándose sobreentendida si se
escriben varias variables seguidas; así por ejemplo, son equivalentes las expresiones
siguientes:
a • (b + c) = a • b + a c⇔ a (b + c) = a b + a c

d) Se supondrá, al igual que en el álgebra ordinaria, que la operación (●) es prioritaria sobre
la ( + ), salvo que esta prioridad se altere por medio de los paréntesis. Así:
es lo mismo que a + (b • c)
a • (b + c)
y es diferente a (a + b) • c

Teoremas:

Por medio e los axiomas anteriores, se...