Vectores producto punto y producto cruz

Vectores
Cantidades vectoriales y escalares Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Una cantidad escalar es la que está especificada completamente por un número con unidades apropiadas. Una cantidad escalar sólo tiene magnitud. Ejemplos de cantidades escalares son la temperatura, el volumen, la masa, los intervalos de tiempo, etc. Para manejarcantidades escalares se emplean Las reglas de la aritmética ordinaria. Una cantidad vectorial es una cantidad física especificada por un número con unidades apropiadas más una dirección. Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección y punto de aplicación. Ejemplos de cantidades vectoriales son la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc.
y

∆x
O xi xf x

(b)

Figura 1.Figura 2.

Otro ejemplo de cantidad vectorial es el desplazamiento. Ejemplo ir del punto O hasta el punto P. Véase la figura 1. Si una partícula se mueve a lo largo del eje x desde la posición xi hasta la posición xf, como se muestra en la figura 2, su desplazamiento está dado por ∆x = x - x . f i Notación A veces se emplean letras mayúsculas y negras, A por ejemplo, para representar una cantidadvectorial. Otro manera común en la notación vectorial, es el dibujar una barra o flecha sobre la letra ( A ). La magnitud del vector A se escribe como IAI.

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La magnitud de un vector tiene unidades físicas, como ejemplo metros para el desplazamiento o metros por segundo para la velocidad. Sistemas de coordenadas Para especificar posiciones en el espacio se utilizan los sistemas decoordenadas. Un sistema de coordenadas se compone de lo siguiente: • • • Un punto de referencia fijo, O, denominado el origen Un conjunto de ejes especificados con escalas y leyendas apropiadas sobre los ejes Instrucciones sobre cómo marcar un punto en dicho espacio.

Coordenadas rectangulares. En el plano, la posición de un punto P se puede especificar con las coordenadas rectangulares (x, y) donde xrepresenta la distancia desde un origen hasta el punto P en la dirección horizontal y y representa la distancia desde un origen hasta el punto P en la dirección vertical. Así, en la figura 3, P esta localizado en las coordenadas rectangulares (3, 4). Coordenadas polares. En el plano, la posición de un punto P también se puede especificar con las coordenadas polares (r, θ) donde r representa ladistancia desde el origen hasta el punto P y θ representa el ángulo formado por la línea OP y el eje positivo de las x. En la figura 3, P se localiza en las coordenadas polares (5, 53.1o).
y P (x, y)

z

P (x, y, z)
r

r

θ
ˆ j
x

ˆ k ˆ i
x

ˆ j

y

ˆ i
Figura 3.

Figura 4.

Relación entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas
De acuerdo con la figura 3, a partir delas coordenadas polares, las coordenadas rectangulares pueden obtenerse con las ecuaciones x = rcosθ

y = rsenθ
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Asimismo, las coordenadas polares pueden obtenerse de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones y θ = tan -1 x
r = x 2 + y2 Las calculadoras científicas proporcionan conversiones entre las coordenadas cartesianas y polares a partir de esta convención.

En elespacio, un vector se grafica como se muestra en la figura 4.

Vectores unitarios
Las cantidades vectoriales se expresan con frecuencia en términos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene una magnitud exactamente igual a uno. Los vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada y no tienen otro significado físico. Se usan sólo porconveniencia en la descripción de una dirección en el espacio.
y
z

Ay j

ˆ

A

ˆ k ˆ i
Ax ˆ i (a) x
x (b)

ˆ j

y

Figura 5. Los símbolos i, j y k se utilizan para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones positivas de los ejes x, y y z, respectivamente. Los vectores unitarios i, j y k forman un conjunto de vectores mutuamente perpendiculares en un sistema de...