Algébra

SERIE

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r2 + r3 + r4 + ... donde... indica que la serie continúa indefinidamente.
Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

Por logeneral, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera.
Dos de las cuestiones más importantes sobre una serie son
* Converge?
* Si es así, a dónde?
Por ejemplo, es fácil ver que para r> 1, la serie geométrica Sn(r) no converge a un número finito (es decir, diverge a infinito). Para ver esto, notemos que cada vez que aumentamosel número de términos en la serie Sn(r) aumenta. Quizás un hecho más sorprendente e interesante es que para | r | < 1, Sn(r) converge a un valor finito.
Específicamente, es posible demostrar que

De hecho, consideremos la cantidad:

Puesto que cuando para | r | < 1, esto demuestra que cuando. La cantidad 1 − r es diferente a cero y no depende de n así que podemos dividir por ella y llegar a lafórmula que deseamos.
Nos gustaría poder obtener conclusiones similares sobre cualquier serie.
Desafortunadamente, no hay un modo simple de sumar una serie. Lo más que podremos hacer en la mayoría de los casos es determinar si converge. Las series geométricas y telescópicas son los únicos tipos de series en las cuales se puede encontrar fácilmente la suma.
Convergencia
Es obvio que para queuna serie converja, los an deben tender a cero, pero esto no es suficiente. Consideremos la serie armónica, la suma de 1/n, y agrupemos los términos

Cuando m tiende a infinito, también lo hace la suma final, por lo tanto la serie diverge.
Podemos también deducir algo sobre cuán rápidamente diverge. Usando el mismo agrupamiento de términos, podemos obtener un límite superior de la suma de losprimeros términos, las sumas parciales.

o

y las sumas parciales aumentan como log m, muy lentamente.
Notemos que para descubrir esto, comparamos los términos de la serie armónica con una serie que sabíamos divergente.
Esto es una prueba de convergencia (también conocida como prueba directa de comparación) que podemos aplicar a cualquier par de series.
* Si bn converge y |an|≤|bn|entonces an converge.
* Si bn diverge y |an|≥|bn| entonces an diverge.
Existen muchas de tales pruebas, las más importantes de las cuales describiremos en este capítulo.
Convergencia absoluta
Teorema: Si la serie de valores absolutos, , converge, entonces también lo hace la serie
Decimos que tal serie es absolutamente convergente o que converge absolutamente.
El recíproco no es cierto. Laserie 1-1/2+1/3-1/4... Converge, aunque la serie de sus valores absolutos diverge.
Una serie como esta que converge, pero no absolutamente, se dice que es condicionalmente convergente o que converge condicionalmente.
Si una serie converge absolutamente, podemos sumar los términos en cualquier orden que queramos y el límite será siempre el mismo. Si converge una serie condicional, el cambio de lostérminos cambia el límite.
De hecho, podemos hacer que la serie converge a cualquier límite que deseemos eligiendo un cambio conveniente. P.ej., en la serie 1-1/2+1/3-1/4..., podemos sumar solamente términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos el 1/2, sumamos solamente términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos 1/4, etcétera, consiguiendo unasecuencia con los mismos términos que converja a 100.
Esto hace que sea más fácil trabajar con una serie absolutamente convergente. Así, todas excepto una de las pruebas de convergencia en este capítulo serán para series cuyos términos sean todos positivos, que deben ser series absolutamente convergentes o divergentes. La otra serie será estudiada considerando la serie correspondiente de valores...