Algebra de boole

1. ALGEBRA DE BOOLE:
1.1 DEFINICIÓN:

Hacia 1850, el matemático y lógico irlandés George Boole (1851-1864), desarrolló un sistema matemático para formular proposiciones lógicas con símbolos, de manera que los problemas pueden ser escritos y resueltos de una forma similar al álgebra tradicional.-El Álgebra de Boole se aplica en el análisis y el diseño de los sistemas digitales.-Unavariable booleana es cualquier símbolo que en un instante determinado sólo puede tomar uno de dos valores: 0 y 1. -Existen varios tipos de circuitos lógicos que se utilizan para implementar funciones lógicas u operaciones lógicas. Estos circuitos son los elementos básicos que constituyen los bloques sobre los que se construyen sistemas digitales más complejos, como por ejemplo una computadora. Tambiénes La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.
Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra
convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc). En este capítulo sepresentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los
resultados más importantes, se presentan también los tres ejemplos clásicos de álgebras boolenas
(lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicas como tablas de verdad y diagramas de Venn.

1.2 POSTULADOS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA:

El Álgebra de Boole, fuepresentada originalmente por el inglés George Boole, en el año de 1854 en su artículo "An Investigation of the Laws of Thoght ... ", sin embargo, las primeras aplicaciones a circuitos de conmutación fueron desarrolladas por Claude Shannon en su tesis doctoral "Análisis simbólico de los circuitos de conmutación y relés" hasta 1938. A continuación se presentan los postulados fundamentales del álgebra deBoole

1.3 EJEMPLOS SOBRE EL ALGEBRA DE BOOLE:
En un principio algunos de los postulados anteriores pueden parecer extraños, especialmente aquellos que son diferentes al álgebra con número reales (como el 5a, el 6a y el 6b), y puede ser difícil encontrar situaciones de interés que cumplan al pie de la letra con cada uno de ellos, sin embargo, existen varios ejemplos, de los cuales se presentanlos siguientes tres clásicos, en los cuales se verifica que se trata de álgebra de Boole, es decir, que se cumple postulado por postulado.

1.3.1 ALGEBRA DE CONJUNTOS

1.- Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de todos los conjuntos a tratar. La suma es la
unión de conjuntos (U) y la multiplicación es la intersección () de conjuntos.
2.- Existencia de neutros. El neutro de launión es el conjunto vacío F , mientras que el neutro de la
intersección es el conjunto universo U, ya que para cualquier conjunto arbitrario A, A U F = A y A U = A.
3.- Conmutatividad. La unión y la intersección son conmutativas, ya que para cualquier par de
conjuntos A, B: A U B = B U A y A B = B A
4.- Asociatividad. La unión y la intersección de conjuntos son asociativas, ya que paracualesquiera
tres conjuntos A, B, C: A U (B U C) = (A U B) U C y A (B C) = (A B) C
5.- Distributividad. La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección, y viceversa, la
intersección es distributiva sobre la unión, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B C) = (A U B) (A U C) y A (B U C) = (A B) U (A C)
6.- Existencia de complementos. El conjunto complementoAc cumple con las propiedades deseadas:
A U Ac = U y A Ac = F
Algunos de los enunciados anteriores pueden ser difíciles de obtener, o recordar, especialmente la
distributividad, por ello, es conveniente tener en cuenta una herramienta gráfica en la cual estos
enunciados se vuelven evidentes casi a simple vista:
1.3.1.1. DIAGRAMAS DE VENN
En la siguiente figura se muestran diagramas de...